Brahmaguptův vzorec

Brahmaguptův vzorec

Brahmaguptův vzorec (podle indického matematika Brahmagupty) umožňuje vypočítat obsah S tětivového čtyřúhelníka, tedy takového, kterému může být opsána kružnice. Nechť ABCD je tětivový čtyřúhelník se stranami a, b, c a d, pak platí:

S = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}} ,

kde s je polovina obvodu tohoto čtyřúhelníka:

s = a + b + c + d 2 . {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}

Pokud jedna ze stran má nulovou délku, dostaneme Heronův vzorec pro obsah trojúhelníka:

S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) . {\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.}

Brahmaguptův vzorec lze dokázat aplikací Heronova vzorce na dva trojúhelníky, na které lze čtyřúhelník rozdělit.

Zobecněním Brahmaguptova vzorce na obecné rovinné čtyřúhelníky je Bretschneiderův vzorec.

S = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d cos 2 ⁡ θ , {\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }},}

kde θ {\displaystyle \theta } je polovina součtu dvou protilehlých úhlů čtyřúhelníka.