Radián

Výseč kruhu s délkou stejnou jako poloměr toho kruhu má úhel rovný 1 radiánu. Plný kruh odpovídá úhlu 2π radiánů.
Některé obvyklé úhly, vyjádřené v radiánech

Radián je bezrozměrová odvozená jednotka soustavy SI[pozn. 1] velikosti (aditivní míry) rovinného úhlu.

Používá se pro něj značka rad.

1 radián je velikost středového úhlu, který přísluší oblouku o stejné délce, jako je poloměr kružnice. Je to jednotka obloukové míry rovinného úhlu.

Název pochází z latinského názvu pro poloměr-radius.

Velikost rovinného úhlu v radiánech (mezi dvěma různoběžkami) je definován jako poměr délky různoběžkami vyťatého oblouku ku jeho poloměru.

α = s r [ r a d ; m , m ] {\displaystyle \alpha ={\frac {s}{r}}\,\,[\mathrm {rad;m,m} ]}

kde
α [ r a d ] {\displaystyle \alpha \,\,[\mathrm {rad} ]} ... je velikost rovinného úhlu v radiánech,
s [ m ] {\displaystyle {s}\,\,[\mathrm {m} ]} ... je délka oblouku kružnice, vyťatého rameny úhlu
r [ m ] {\displaystyle {r}\,\,[\mathrm {m} ]} ... je délka poloměru kružnice.

Z předchozího vztahu vyplývá definice v soustavě SI, kde je radián definován jako bezrozměrová jednotka, tj. jako poměr délek oblouku a poloměru.

Převod mezi mírou stupňovou a obloukovou lze tedy realizovat následovně (a je velikost úhlu v radiánech a α ve stupních):

Plný úhel má 2π radiánů – to je 360 stupňů.

α = a ⋅ 180 π {\displaystyle \alpha =a\cdot {\frac {180}{\pi }}}

a = α ⋅ π 180 {\displaystyle a=\alpha \cdot {\frac {\pi }{180}}}

Tedy:

1 r a d = 180 ∘ π ≈ 57,296 ∘ ≈ 57 ∘ 17 ′ 45 ″ {\displaystyle 1\,\mathrm {rad} ={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}296^{\circ }\approx 57^{\circ }17'45''}

1 ∘ = π 180 ≈ 1,745 c r a d {\displaystyle 1^{\circ }={\frac {\pi }{180}}\approx 1{,}745\,\mathrm {crad} }

Radiány mají výhodu při složitějších výpočtech – zvláště při derivování či integraci není třeba počítat se speciálními konstantami. Radián je navíc přirozená jednotka. Vyjadřuje přímo délku oblouku, vytyčeného daným úhlem na jednotkové kružnici.

Další úhlové míry

  • Stupeň
  • Grad

Poznámky

  1. ↑ Do roku 1995 patřila do zvláštní kategorie tzv. doplňkových jednotek, které byly svým charakterem odvozené, přesto měly svůj zvláštní nezávislý rozměr.[1][2]

Reference

  1. ↑ Rozhodnutí č. 8 20. Generální konference pro míry a váhy, 1995. Dostupné online (anglicky)
  2. ↑ Rozhodnutí č. 12 11. Generální konference pro míry a váhy, 1960. Dostupné online (anglicky)

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu radián na Wikimedia Commons
  • Slovníkové heslo radián ve Wikislovníku