Lemma von Kakutani

Das Lemma von Kakutani ist mathematischer Lehrsatz, der sowohl dem Gebiet der Konvexgeometrie als auch dem der Funktionalanalysis zugerechnet werden kann. Es geht auf eine Arbeit des japanischen Mathematikers Shizuo Kakutani aus dem Jahr 1937 zurück und behandelt eine Eigenschaft konvexer Mengen in reellen Vektorräumen.^[1][2][3]

Das Lemma lässt sich formulieren wie folgt:^[1][2]

Gegeben seien ein reeller Vektorraum ${\displaystyle X}$ und darin zwei disjunkte konvexe Teilmengen ${\displaystyle C_{1},C_{2}\subset X}$ sowie ein außerhalb dieser beiden Mengen gelegener Punkt ${\displaystyle x\in {X\setminus (C_{1}\cup C_{2})}}$.

${\displaystyle {\Gamma }_{i}\subset X\;(i=1,2)}$ sei jeweils die konvexe Hülle von ${\displaystyle \{x\}\cup C_{i}}$.

Dann gilt:

Mindestens eine der beiden Schnittmengen ${\displaystyle {\Gamma }_{1}\cap C_{2}\;,\;{\Gamma }_{2}\cap C_{1}}$ ist die leere Menge.

Aus dem Lemma von Kakutani lässt sich mit Hilfe des Zornschen Lemmas ein Satz von Marshall Harvey Stone folgern, den Frederick A. Valentine in seinem Lehrbuch Konvexe Mengen als grundlegend bezeichnet.^[4] Dieser Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:^[2][5]

In jedem reellen Vektorraum ${\displaystyle X}$ existiert zu je zwei disjunkten nichtleeren konvexen Teilmengen ${\displaystyle C_{1},C_{2}\subset X}$ stets eine Zerlegung ${\displaystyle Z_{1}{\dot {\cup }}Z_{2}=X}$ mit umfassenden konvexen Teilmengen ${\displaystyle Z_{i}\supset C_{i}\;(i=1,2)}$ .

Hinsichtlich der Namensgebung ist anzumerken, dass Kelley/Namioka den genannten Satz als Satz von Stone (englisch Stone’s theorem) bezeichnen,^[2] während aus der Darstellung von Valentine eher zu entnehmen ist, dass der Satz in gleichem Maße Kakutani zuzuweisen ist und vermutlich auch von anderen Mathematikern gezeigt wurde. Bemerkenswert an der Darstellung von Valentine ist der Umstand, dass er das Lemma von Kakutani implizit beim Beweis benutzt, jedoch nicht explizit als solches nennt.^[3]

Von Gottfried Köthe wird der Satz von Stone als Trennungssatz genannt, denn er steht in direkter Beziehung zum Trennungssatz von Eidelheit (englisch Eidelheit’s Separation Theorem), welcher seinerseits hinführt zur Geometrischen Form des Satzes von Hahn-Banach. Der eidelheitsche Trennungssatz gab Shizuo Kakutani den Anlass zu seiner Arbeit von 1937.^[6][7][8]

Der Trennungssatz von Eidelheit lässt sich konvexgeometrisch angeben wie folgt:^{[9][10][11][8]}

Es sei ${\displaystyle X}$ ein reeller topologischer Vektorraum und darin enthalten seien zwei nichtleere konvexe Teilmengen ${\displaystyle C_{1},C_{2}\subset X}$.

${\displaystyle C_{1}}$ besitze innere Punkte, von denen jedoch keiner zugleich ein Punkt von ${\displaystyle C_{2}}$ sei.

Dann gilt:

(1) Es gibt innerhalb ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle C_{1}}$ und ${\displaystyle C_{2}}$ trennende abgeschlossene reelle Hyperebene ${\displaystyle H\subset X}$ derart, dass keiner der inneren Punkte von ${\displaystyle C_{1}}$ zugleich ein Punkt von ${\displaystyle H}$ ist.

(2) Sind hierbei sogar sowohl ${\displaystyle C_{1}}$ als auch ${\displaystyle C_{2}}$ offene Teilmengen von ${\displaystyle X}$, so liegen sie in verschiedenen offenen Halbräumen und werden in diesem Sinne durch ${\displaystyle H}$ voneinander strikt getrennt.

Bei Valentine ist sogar ein noch allgemeinere Version des Trennungssatzes zu finden.^[12]

• Marcel Berger: Geometry I (= Universitext). Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1987, ISBN 3-540-11658-3 (MR2724360). 
• Nicolas Bourbaki: Topological Vector Spaces (= Elements of Mathematics). Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York / London, Paris / Tokyo 1987, ISBN 3-540-13627-4, Chapters 1–5, S. II.36 ff. (MR0910295). 
• Shizuo Kakutani: Ein Beweis des Satzes von M. Eidelheit über konvexe Mengen. In: Proceedings of the Imperial Academy. Band 13, 1937, S. 93–94 (projecteuclid.org).  MR1568455
• John L. Kelley, Isaac Namioka et al.: Linear Topological Spaces (= Graduate Texts in Mathematics. Band 36). 2. Auflage. Springer Verlag, New York / Heidelberg / Berlin 1976 (MR0394084). 
• Marshall Harvey Stone: Convexity. Vervielfältigte Vorlesungsausarbeitung von Harley Flanders. University of Chicago, Chicago 1946. 
• Gottfried Köthe: Topologische lineare Räume I (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 107). 2. verbesserte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1966, S. 36 ff. (MR0194863). 
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 183). Springer Verlag, New York 1998, ISBN 0-387-98431-3 (MR1650235). 
• Marshall Harvey Stone: Convexity. Vervielfältigte Vorlesungsausarbeitung von Harley Flanders. University of Chicago, Chicago 1946. 
• Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen (= B. I.-Hochschultaschenbücher. 402/402a). Springer Verlag, Mannheim 1968 (MR0226495). 

1. ↑ ^{a b} Marcel Berger: Geometry I. 1987, S. 384.
2. ↑ ^{a b c d} John L. Kelley, Isaac Namioka: Linear Topological Spaces. 1976, S. 17.
3. ↑ ^{a b} Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen. 1968, S. 29–30.
4. ↑ Valentine, op. cit., S. 29.
5. ↑ Valentine, op. cit., S. 30.
6. ↑ Gottfried Köthe: Topologische lineare Räume I. 1966, S. 189 ff.
7. ↑ Nicolas Bourbaki: Topological Vector Spaces. 1998, II.36 ff
8. ↑ ^{a b} Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. 1998, S. 179.
9. ↑ Shizuo Kakutani: Ein Beweis des Satzes von M. Eidelheit über konvexe Mengen. In: Proc. Imp. Acad. 13, S. 93.
10. ↑ Köthe, op. cit, S. 191.
11. ↑ Bourbaki, op. cit., II.37
12. ↑ Valentine, op. cit., S. 34.