Grupo alternante

En teoría de grupos, el grupo alternante, también conocido como grupo alternado o subgrupo alternado, denotado usualmente ${\displaystyle A_{n}}$, es el subgrupo del grupo simétrico ${\displaystyle S_{n}}$ del conjunto ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ formado por las permutaciones pares.^[1]​ Simbólicamente:

${\displaystyle A_{n}=\{\sigma \in S_{n}:\sigma {\text{ es par}}\}=\ker(\varepsilon ),}$

siendo

${\displaystyle \varepsilon :S_{n}\rightarrow \{-1,1\}}$

la aplicación signo de una permutación.

Propiedades

${\displaystyle A_{n}}$ es un subgrupo normal de ${\displaystyle S_{n}}$. De hecho, es su subgrupo conmutador, de índice 2, y por ello tiene ${\displaystyle n!/2}$ elementos.

${\displaystyle A_{n}}$ es no abeliano para ${\displaystyle n\geq 4}$.

El grupo ${\displaystyle A_{4}}$ tiene a ${\displaystyle V}$ (el grupo de Klein) como subgrupo propio normal. Para ${\displaystyle n\geq 5}$, ${\displaystyle A_{n}}$ es un grupo simple.

Véase también

• Subgrupo.
• Grupo cociente.
• Combinatoria.

Referencias