Símbolo de Pochhammer

Sean z un número complejo y n un número entero, el símbolo de Pochhammer^[1]​ está definido por

${\displaystyle (z)_{n}=z(z+1)(z+2)\cdots (z+n-1);\qquad (z)_{0}=1.}$

Si z y z+n no son enteros negativos, entonces

${\displaystyle (z)_{n}={\frac {\Gamma (z+n)}{\Gamma (z)}},}$

donde ${\displaystyle \Gamma }$ es la función gamma.

Los símbolos de Pochhammer aparecen en la expansión en series de funciones especiales.

Propiedades

Algunas de las propiedades de los símbolos de Pochhammer son las siguientes:

${\displaystyle (1)_{n}=n!\quad \mathrm {para\ } n\geq 0,}$

${\displaystyle (z)_{n+m}=(z)_{n}(z+n)_{m},\,}$

${\displaystyle (-z)_{n}=(-1)^{n}(z-n+1)_{n},\,}$

${\displaystyle {z \choose n}=(-1)^{n}{\frac {(-z)_{n}}{n!}}.}$

Aplicaciones

Como se mencionó más arriba, los símbolos de Pochhammer se usan en la expansión en series de potencia de funciones. He aquí un par de ejemplos:

1. El teorema del binomio de Newton puede expresarse:

   ${\displaystyle (1-t)^{z}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)_{k}}{k!}}\,t^{k}\qquad |t|<1}$

2. La función hipergeométrica se puede expresar como:

   ${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(b)_{k}}{(c)_{k}}}{\frac {z^{k}}{k!}}}$

Notas y referencias

• Seaborn, James B. (1991). Hypergeometric Functions and their applications. New York: Springer Verlag. 0-387-97558-6. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. Symbol.html «PochhammerSymbol». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.