Subgrupo normal : Definición, Propiedades, Grupo cociente, Grupos normales y homomorfismos Wikipedia, la enciclopedia libre

Subgrupo normal

En matemáticas, un subgrupo normal o subgrupo distinguido $N$ de un grupo $G$ es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento $n\in N$ y cada $g\in G$ , el elemento $gng^{-1}$ está en $N$ . Se denota $N\triangleleft G$ .

Definición

Un subgrupo $N$ de un grupo $G$ se llama subgrupo normal del grupo $G$ si las clases laterales por la izquierda y por la derecha definidas por cualquier $g\in G$ coinciden, es decir, $gN=Ng\quad \forall g\in G$ .

Definiciones equivalentes

Sea $G$ un grupo y $N<G$ un subgrupo. Equivalen:

$N\triangleleft G$ .

$gng^{-1}\in N\quad \forall n\in N,\forall g\in G$ .

$gNg^{-1}\subset N\quad \forall g\in G$ .

$gNg^{-1}=N\quad \forall g\in G$ .

Demostración

1. $\Longrightarrow$ 2.

Como $gN=Ng$ , entonces $gn\in Ng$ . Por tanto, $\exists n'\in N:gn=n'g\Longrightarrow gng^{-1}=n'\in N$ .

2. $\Longleftrightarrow$ 3.

Es claro.

3. $\Longrightarrow$ 4.

Sea $g\in G$ . Entonces, $g^{-1}N(g^{-1})^{-1}=g^{-1}Ng\subset N$ . Por tanto, $N=g(g^{-1}Ng)g^{-1}\subset gNg^{-1}$ y se tiene la igualdad.

4. $\Longrightarrow$ 1.

Sea $n\in N$ y $g\in G$ .

$gng^{-1}\in gNg^{-1}=N\Longrightarrow \exists n'\in N:gng^{-1}=n'\in N\Longrightarrow gn=n'g\Longrightarrow gN\subset Ng$ .

Además, se tiene que $ng=g(g^{-1}n(g^{-1})^{-1})\in gN\Longrightarrow Ng\subset gN$ .

Por tanto, $gN=Ng\Longrightarrow N\triangleleft G$ .

Propiedades

$\{e\}$ y $G$ son siempre subgrupos normales de $G$ . Si éstos son los únicos subgrupos normales de $G$ , se dice que $G$ es simple.
Los subgrupos normales de cualquier grupo $G$ forman un retículo bajo inclusión. Los elementos mínimo y máximo son $\{e\}$ y $G$ , el ínfimo de dos subgrupos es su intersección y su supremo es su yuxtapuesto.
Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales.
Si $N<G$ es de índice 2 ( $[G:N]=2$ ) entonces $N$ es normal en $G$ .
El centro de un grupo es normal en el grupo.

Grupo cociente

Sea $G$ un grupo y $N\triangleleft G$ . Como los conjuntos de clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden lo llamaremos simplemente conjunto de clases laterales de $N$ en $G$ , y lo denotaremos $G/N$ .

Podemos definir en $G/N$ la operación $gN*hN=(gh)N\quad \forall g,h\in G$ (esta operación está bien definida, ya que su definición no depende de los representantes elegidos en las clases a multiplicar).

Llamamos grupo cociente de $G$ sobre $N$ al grupo $(G/N,*)$ , formado por el conjunto de clases laterales de $N$ en $G$ y operación definida como $gN*hN=(gh)N\quad \forall g,h\in G$ .

La proyección canónica $p:G\longrightarrow G/N,\quad p(g)=gN$ es un homomorfismo de grupos.

Grupos normales y homomorfismos

Sean $G$ y $H$ grupos y sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos. Entonces el núcleo de $f$ es normal en $G$ : $\ker(f)\triangleleft G$ . De hecho, un subgrupo $N<G$ es normal si y sólo si existe un homomorfismo de grupos $f:G\longrightarrow H$ tal que $\ker(f)=N$ .