Fresnelin integraalit

Fresnelin integraalit ovat kaksi integraalia, jotka esiintyvät tutkittaessa aaltoliikkeen, tavallisimmin valon, lähikenttädiffraktiota eli Fresnel'n diffraktiota. Fresnelin integraalit ovat

${\displaystyle \mathrm {S} (x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})dt}$

sekä

${\displaystyle \mathrm {C} (x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})dt}$

Fresnelin integraalit ovat tyyppiä 0, 1 tai 2. ^[1]. Tyypissä 1 integraalimerkin edessä käytetään kerrointa ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$. Mikäli integraali määritetään sarjakehitelmällä tai numeerisesti integroimalla on se tyyppiä 1.

Näitä integraaleja ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla ja niitä pidetään siksi omina funktioinaan. Niille on kuitenkin olemassa sarjakehitelmät

${\displaystyle \mathrm {S} (x)={\frac {x^{3}}{3\cdot 1!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 3!}}+{\frac {x^{11}}{11\cdot 5!}}-{\frac {x^{15}}{15\cdot 7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}}$

ja

${\displaystyle \mathrm {C} (x)={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{5}}{5\cdot 2!}}+{\frac {x^{9}}{9\cdot 4!}}-{\frac {x^{13}}{13\cdot 6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}}$

missä ${\displaystyle !}$ tarkoittaa kertomaa.

Kun x on ääretön niin s(x)=0.5 ja c(x)=0.5.^[2]

Kuvan integraalit on laskettu numeerisesti integroimalla. Fresnelin integraalit voi laskea tarkasti ja suoraan yhtälöllä, kun x on vähintään 7.5.^[1]

Cornun spiraali

Piirtämällä koordinaatistoon käyrä ${\displaystyle (x,y)=(\mathrm {C} (t),\mathrm {S} (t))}$ saadaan käyrä, joka tunnetaan Cornun spiraalina eli klotoidina. Siitä käytetään myös nimitystä Eulerin spiraali keksijänsä Leonhard Eulerin mukaan. Muita klotoidin tutkijoita ovat mm. Marie Alfred Cornu joka keksi klotoidin laskentakaavan. Klotoidissa käyrän kaarevuus muuttuu suoraviivaisesti käyrän mukana.

Sitä käytetään teiden ja rautateiden linjauksen suunnittelussa, sillä se on erityisen tehokas siirtymäkaaren muoto suoran ja ympyränkaaren välissä. Klotoidin kohdalla myös keskipakovoima muuttuu suoraviivaisesti.

Kaikki klotoidit ovat keskenään yhdenmuotoisia, erot selittyvät eriarvoisesta a parametrista. Symbolit:

${\displaystyle R\,}$	Kaarevuussäde
${\displaystyle R_{c}\,}$	Ympyränkaaren säde klotoidin lopussa.
${\displaystyle \theta \,}$	Klotoidin kulma alusta (Äärettömän suuri ${\displaystyle R}$) määrättyyn pisteeseen.
${\displaystyle \theta _{s}\,}$	Täyden klotoidin kulma
${\displaystyle L,s\,}$	Pituus mitattuna klotoidia pitkin tähän määrättyyn pisteeseen.
${\displaystyle L_{s},s_{o}\,}$	Klotoidin pituus.

Määritetään kaarevuus,

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dL}}\propto L}$

${\displaystyle RL={\text{vakio}}=R_{c}L_{s}\,}$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dL}}={\frac {L}{R_{c}L_{s}}}}$

Kirjoitetaan muotoon,

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dL}}=2a^{2}L}$

Jossa a-parametri

${\displaystyle 2a^{2}={\frac {1}{R_{c}L_{s}}}}$

Tai

${\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}}$

Täten

${\displaystyle \theta =(aL)^{2}\,}$

Lähteet

Aiheesta muualla

• Mathworld: Fresnelin integraalit (englanniksi)
• Mathworld: Cornun spiraali (englanniksi)
• Handbook of Mathematical Functions sivu 300 (englanniksi)