Sylowin lauseet

Ryhmäteoriassa Sylowin lauseet ovat osittainen käänteistulos Lagrangen lauseelle. Ne takaavat, että äärellinen ryhmä ${\displaystyle G}$ sisältää tiettyjä p-ryhmiä ja kuvailevat niiden ominaisuuksia. Lauseet on nimetty kehittäjänsä, norjalaisen matemaatikon Ludwig Sylowin mukaan.

Sylowin lauseilla on lukuisia sovelluksia äärellisten ryhmien teoriassa, esimerkiksi tarkasteltaessa ryhmän ratkeavuutta tai yksinkertaisuutta. Hallin lauseet yleistävät Sylowin lauseita ratkeaville ryhmille.

Olkoon seuraavassa ${\displaystyle G}$ äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on ${\displaystyle p^{n}a,\,}$ missä ${\displaystyle p\,}$ on alkuluku, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{+}\,}$ ja ${\displaystyle p\,}$ ei jaa lukua ${\displaystyle a.\,}$

Lause 1. Ryhmällä ${\displaystyle G}$ on kertalukua ${\displaystyle p^{l},\,}$ missä ${\displaystyle 0\leq l\leq n,}$ oleva aliryhmä.^[1]

Ryhmän ${\displaystyle G}$ Sylowin p-aliryhmäksi kutsutaan kertalukua ${\displaystyle p^{n}\,}$ olevia aliryhmiä.^[2] Ensimmäinen Sylowin lause takaa siis näiden aliryhmien olemassaolon.

Lause 2. Jos ${\displaystyle H\leq G\,}$ on kertalukua ${\displaystyle p^{l},\,}$ missä ${\displaystyle 0\leq l\leq n,}$ oleva aliryhmä, niin on olemassa sellainen ryhmän ${\displaystyle G}$ Sylowin p-aliryhmä ${\displaystyle P}$ ja sellainen alkio ${\displaystyle g\in G,\,}$ että ${\displaystyle g^{-1}Hg\leq P.\,}$ Erityisesti ryhmän ${\displaystyle G}$ Sylowin p-aliryhmät muodostavat konjugointiluokan.^[3]

Lisäksi toinen Sylowin lause takaa, että Sylowin p-aliryhmät ovat maksimaalisia p-aliryhmiä.

Lause 3. Jos ${\displaystyle n_{p}\,}$ on ryhmän ${\displaystyle G}$ Sylowin p-aliryhmien lukumäärä, niin

• ${\displaystyle n_{p}=\left[G:N_{G}(P)\right]\,}$, missä ${\displaystyle P}$ on ryhmän ${\displaystyle G}$ Sylowin p-aliryhmä, erityisesti ${\displaystyle n_{p}\,}$ jakaa tasan luvun ${\displaystyle a\,}$^[4] ja
• ${\displaystyle n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}.\,}$^[5]

Sylowin ensimmäinen lause sisältää erikoistapauksenaan Cauchyn lauseen, jonka mukaan jos alkuluku ${\displaystyle p\,}$ jakaa äärellisen ryhmän kertaluvun, niin tällä ryhmällä on kertalukua ${\displaystyle p\,}$ oleva aliryhmä.

Koska funktio ${\displaystyle f:G\rightarrow G,f(x)=g^{-1}xg\,}$ on ryhmäisomorfia kaikilla ${\displaystyle g\in G\,}$, niin toisen lauseen suorana seurauksena ryhmän ${\displaystyle G}$ Sylowin p-aliryhmät ovat keskenään isomorfisia. Lisäksi äärellisellä ryhmällä on täsmälleen yksi Sylowin p-aliryhmä jos ja vain jos ryhmällä on normaali Sylowin p-aliryhmä.

Sylowin kolmatta lausetta voidaan käyttää monenlaisissa äärellisten ryhmien rakennetta tutkivissa tarkasteluissa, kunhan tiedetään jotain ryhmän kertaluvusta.

Olkoon ${\displaystyle G}$ äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on kahden erisuuren alkuluvun ${\displaystyle p\,}$ ja ${\displaystyle q\,}$ tulo. Tällöin ryhmä ${\displaystyle G}$ ei ole yksinkertainen.

Voidaan olettaa, että ${\displaystyle p>q\,}$. Olkoon ${\displaystyle n_{p}\,}$ on ryhmän ${\displaystyle G}$ Sylowin p-aliryhmien lukumäärä. Kolmannen Sylowin lauseen nojalla luku ${\displaystyle n_{p}\,}$ jakaa alkuluvun ${\displaystyle q.\,}$ Jos ${\displaystyle n_{p}=q,\,}$ niin edelleen ${\displaystyle q=n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}\,}$ eli alkuluku ${\displaystyle p\,}$ jakaa tasan luvun ${\displaystyle q-1.\,}$ Tämä on ristiriita oletuksen ${\displaystyle p>q\,}$ kanssa, joten täytää päteä ${\displaystyle n_{p}=1.\,}$ Täten ryhmän ${\displaystyle G}$ ainoa Sylowin p-aliryhmä on normaali. Täten ryhmä ${\displaystyle G}$ ei ole yksinkertainen.

• Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0. (englanniksi)