Sous-groupe de Hall

portrait de Philip Hall

En théorie des groupes (une branche des mathématiques), les sous-groupes de Hall d'un groupe fini sont les sous-groupes dont l'ordre et l'indice sont premiers entre eux. Ils portent le nom du mathématicien Philip Hall.

Définition

Soit G {\displaystyle G} un groupe fini. Un sous-groupe de G {\displaystyle G} est appelé un sous-groupe de Hall de G {\displaystyle G} si son ordre est premier avec son indice dans G {\displaystyle G} . Autrement dit, un sous-groupe H {\displaystyle H} de G {\displaystyle G} est dit sous-groupe de Hall si | H | {\displaystyle |H|} est premier avec | G | | H | {\displaystyle {\frac {|G|}{|H|}}} . Cela revient encore à dire que pour tout diviseur premier p de | H | {\displaystyle |H|} , la puissance à laquelle p figure dans | H | {\displaystyle |H|} est la même que celle à laquelle il figure dans | G | {\displaystyle |G|} .

Propriétés

  • Si H {\displaystyle H} est un sous-groupe de Hall normal de G {\displaystyle G} alors il est seul de son ordre parmi les sous-groupes de G {\displaystyle G} et est donc caractéristique dans G {\displaystyle G} [1].
Démonstration

Soient r {\displaystyle r} l'ordre de H {\displaystyle H} et s {\displaystyle s} son indice dans G {\displaystyle G} . Pour tout élément x {\displaystyle x} de G {\displaystyle G} tel que x r = 1 {\displaystyle x^{r}=1} , l'image canonique y {\displaystyle y} de x {\displaystyle x} dans le groupe quotient G / H {\displaystyle G/H} vérifie y r = 1 {\displaystyle y^{r}=1} . Comme ce quotient est un groupe d'ordre s {\displaystyle s} premier avec r {\displaystyle r} , ceci entraîne que y = 1 {\displaystyle y=1} , c'est-à-dire que x {\displaystyle x} appartient à H {\displaystyle H} . Ainsi, H {\displaystyle H} comprend tout élément x de G {\displaystyle G} tel que x r = 1 {\displaystyle x^{r}=1} , donc H {\displaystyle H} contient tout sous-groupe d'ordre r de G {\displaystyle G} . Puisque H {\displaystyle H} est lui-même d'ordre r, il est donc le seul sous-groupe d'ordre r de G {\displaystyle G} et est donc caractéristique dans G {\displaystyle G} .

  • Le fait ci-dessus a par exemple pour conséquence importante que le complément normal dont le théorème du complément normal de Burnside assure l'existence est non seulement normal mais caractéristique.
  • P. Hall a prouvé[2] que pour tout groupe fini G {\displaystyle G}  :
    • si G {\displaystyle G} est résoluble alors, pour tous m {\displaystyle m} et n {\displaystyle n} premiers entre eux tels que | G | = m n {\displaystyle |G|=mn} [3],[4],[5] :
      1. il existe au moins un sous-groupe d'ordre m {\displaystyle m} ,
      2. les sous-groupes d'ordre m {\displaystyle m} sont conjugués deux à deux,
      3. tout sous-groupe dont l'ordre divise m {\displaystyle m} est inclus dans l'un d'entre eux ;
    • une réciproque forte du point 1[6],[7] : pour que G {\displaystyle G} soit résoluble, il suffit qu'il possède un sous-groupe d'indice p i α i {\displaystyle p_{i}^{\alpha _{i}}} pour chaque valeur de i {\displaystyle i} , où p 1 α 1 … p r α r {\displaystyle p_{1}^{\alpha _{1}}\dots p_{r}^{\alpha _{r}}} désigne la décomposition en facteurs premiers de | G | {\displaystyle |G|} .

Exemple

Parmi les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d figurent en particulier les d = pn, où p est un nombre premier et n l'entier maximum tel que pn divise |G|. Les sous-groupes de Hall correspondants sont exactement les p-sous-groupes de Sylow de G. Hall étend donc à tous les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d le théorème classique sur l'existence des p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini, mais seulement sous l'hypothèse supplémentaire que G est résoluble.

Notes et références

  1. ↑ (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 4e éd., tirage de 1999, exerc. 5.26, p. 107 ; exerc. 5.31, p. 111. Le fait que si G est un groupe fini et H un sous-groupe de Hall normal d'ordre r de G, alors H est l'ensemble des éléments x de G tels que xr = 1 a été énoncé et démontré par (de) G. Frobenius, « Über endliche Gruppen », Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, janvier à mai 1895, p. 170, consultable sur le site Internet Archive. (Référence à Frobenius donnée par (en) W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, 2e éd., 1911, réimpr. Dover, 2004, p. 53.)
  2. ↑ Ne pas confondre avec un autre théorème de Hall, résultat combinatoire plus connu sous le nom de « lemme des mariages ».
  3. ↑ (en) P. Hall, « A note on soluble groups », J. London Math. Soc., vol. 3,‎ , p. 98-105 (zbMATH 54.0145.01). Hall démontre de plus un analogue du 3e théorème de Sylow (sur le nombre des sous-groupes d'ordre m {\displaystyle m} ).
  4. ↑ (en) Harry Goheen, « Proof of a theorem of Hall », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 47, no 2,‎ , p. 143-144 (lire en ligne).
  5. ↑ Rotman 1999, theor. 5.28, p. 108.
  6. ↑ (en) P. Hall, « A characteristic property of soluble groups », J. London Math. Soc., vol. s1-12, no 3,‎ , p. 198-200 (zbMATH 0016.39204).
  7. ↑ Rotman 1999, theor. 5.29, p. 110.

Voir aussi

Base de Sylow

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