Descartes-féle levél

A Descartes-féle levél egy algebrai görbe, melyet az alábbi egyenlet definiál:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0\,}$.

A 3a paraméter az ábrán sárga egyenesekkel berajzolt négyzet átlójának hossza. A görbe hurkot képez a derékszögű koordináta-rendszer első térnegyedében kettős ponttal az origóban és aszimptotával, melynek egyenlete:

${\displaystyle x+y+a=0\,}$,

(az ábrán piros egyenes). A görbe szimmetrikus az ${\displaystyle y=x\,}$ egyenesre.

Egyenletei

Polárkoordinátás egyenlete:

${\displaystyle \rho ={\frac {3a\cos \varphi \sin \varphi }{\cos ^{3}\varphi +\sin ^{3}\varphi }}}$.

Paraméteres egyenletrendszere derékszögű koordináta-rendszerben:

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {3at}{1+t^{3}}}\\y={\frac {3at^{2}}{1+t^{3}}}\end{cases}}}$, ahol ${\displaystyle t=\operatorname {tg} \varphi }$.

Gyakran vizsgálják a ${\displaystyle 135^{\circ }}$-os szöggel elforgatott alakját. Ennek egyenlete derékszögű koordináta-rendszerben:

${\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}}$, ahol ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}}$

Paraméteres egyenletrendszerrel:

${\displaystyle x=l{\frac {t^{2}-1}{3t^{2}+1}},\ y=l{\frac {t(t^{2}-1)}{3t^{2}+1}}}$,

és polárkoordinátákkal:

${\displaystyle \rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}}$

Tulajdonságai

Az aszimptota egyenlete:

${\displaystyle x+y+a=0\,}$.

A levél területe:

${\displaystyle T_{1}={\frac {3a^{2}}{2}}}$

A görbe és az aszimptota közti terület:

${\displaystyle T_{2}=T_{1}={\frac {3a^{2}}{2}}}$

Források

• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-5309-1
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.