Khí-négyzet eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén, a k szabadságfokú khí-négyzet eloszlás (más neveken: khi-négyzet, Khi2) k darab független normális eloszlású valószínűségi változónak a négyzetösszege.

Ez az eloszlás széles körben használatos a valószínűség-eloszlások között, a statisztikai területén, például a hipotézisek ellenőrzésekor, vagy egy konfidenciaintervallum létrehozásakor.[1][2][3][4]

Ha szükséges a khí-négyzet eloszlást megkülönböztetni a nem-centrális khí-négyzet eloszlástól, akkor szokták néha centrális khí-négyzet eloszlásnak is nevezni.

A khí-négyzet eloszlást statisztikák ellenőrzésére használják, az elméleti és a megfigyelt értékek kiértékelésénél, összehasonlításánál. A khí-négyzet eloszlás, a gamma-eloszlás egy speciális esete.

Definíció

Ha Z1, ..., Zk független, standard normális eloszlású valószínűségi változók, akkor a négyzeteik összege,

Q   = ∑ i = 1 k Z i 2 , {\displaystyle Q\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},}

a khí-négyzet eloszlás szerint oszlik el, k szabadságfokkal. Ezt a következőképpen is jelölik:

Q   ∼   χ 2 ( k )     vagy     Q   ∼   χ k 2 . {\displaystyle Q\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{vagy}}\ \ Q\ \sim \ \chi _{k}^{2}.}

A khi-négyzet eloszlásnak egy paramétere van, a k, egy pozitív egész, mely a szabadságfok mértéke.

Valószínűség sűrűségfüggvény

Valószínűség sűrűségfüggvény

A khí-négyzet eloszlás valószínűség sűrűségfüggvénye:

f ( x ; k ) = { x ( k / 2 ) − 1 e − x / 2 2 k / 2 Γ ( k 2 ) , x ≥ 0 ; 0 , más esetben . {\displaystyle f(x;\,k)={\begin{cases}{\frac {x^{(k/2)-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0;\\0,&{\text{más esetben}}.\end{cases}}}

ahol Γ(k/2) a gamma-eloszlást jelöli A sűrűségfüggvényének deriválását a khi-négyzet eloszlás valószínűség sűrűségfüggvényének deriválása szócikk tárgyalja.

Kumulatív eloszlás függvény

A kumulatív eloszlás függvény:

F ( x ; k ) = γ ( k 2 , x 2 ) Γ ( k 2 ) = P ( k 2 , x 2 ) , {\displaystyle F(x;\,k)={\frac {\gamma ({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}=P\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right),}

Ahol γ(k,z) az inkomplett gamma-függvény, és a P(k,z) a rendezett gamma-függvény . Abban a speciális esetben, amikor k=2, léteik egy egyszerű képlet:

F ( x ; 2 ) = 1 − e − x 2 . {\displaystyle F(x;\,2)=1-e^{-{\frac {x}{2}}}.}

Ennek az eloszlásnak a táblázatai – rendszerint kumulatív formában – számos helyen megtalálhatók, általában statisztikai csomagokban. Egy zárt formájú közelítés található a nem-centrális khí-négyzet eloszlásnál.

Additivitás

A khí-négyzet eloszlás definíciója szerint a független khí-négyzet változók összege is khí-négyzet eloszlású. Speciálisan, ha {Xi}i=1n független khí-négyzet eloszlású változók {ki}i=1n szabadságfokkal, akkor Y = X1 + ⋯ + Xn is khí-négyzet eloszlásúak k1 + ⋯ + kn szabadságfokkal.

Információ entrópiája

Az információ entrópiája:

H = ∫ − ∞ ∞ f ( x ; k ) ln ⁡ f ( x ; k ) d x = k 2 + ln ⁡ ( 2 Γ ( k 2 ) ) + ( 1 − k 2 ) ψ ( k 2 ) , {\displaystyle H=\int _{-\infty }^{\infty }f(x;\,k)\ln f(x;\,k)\,dx={\frac {k}{2}}+\ln \left(2\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right)+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi \left({\frac {k}{2}}\right),}

ahol ψ(x) a Digamma-függvény. A khí-négyzet eloszlás az X valószínűségi változó maximális entrópiájú valószínűség eloszlása, ahol E ( X ) = ν {\displaystyle E(X)=\nu } rögzített, és E ( ln ⁡ ( X ) ) = ψ ( 1 2 ) + ln ⁡ ( 2 ) {\displaystyle E(\ln(X))=\psi \left({\frac {1}{2}}\right)+\ln(2)} is rögzített.[5]

Nem centrális momentumok

A k szabadságfokú khí-négyzet eloszlás zéró körüli momentumai:[6][7]

E ⁡ ( X m ) = k ( k + 2 ) ( k + 4 ) ⋯ ( k + 2 m − 2 ) = 2 m Γ ( m + k 2 ) Γ ( k 2 ) . {\displaystyle \operatorname {E} (X^{m})=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)=2^{m}{\frac {\Gamma (m+{\frac {k}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}.}

Kumulánsok

A kumulánsok a karakterisztikus függvény logaritmusának egy hatvány sor kiterjesztésével kaphatók:

κ n = 2 n − 1 ( n − 1 ) ! k {\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!\,k}

Aszimptotikus tulajdonságok

A centrális határeloszlás tételéből következően, mivel a khi-négyzet eloszlás független k szabadságfokú valószínűségi változók szummája, véges átlaggal és szórásnégyzettel, konvergál a normális eloszláshoz nagy k értékeknél.

Praktikus okok miatt, k > 50 esetben az eloszlás elég közel áll a normális eloszláshoz, hogy a különbség elhanyagolható lehessen.[8]

Ha X ~ χ²(k), akkor k tart a végtelenhez, a ( X − k ) / 2 k {\displaystyle (X-k)/{\sqrt {2k}}} eloszlás pedig a normális eloszlás felé tart. Azonban ez a konvergencia lassú, mivel a ferdeség 8 / k {\displaystyle {\sqrt {8/k}}} , és az eloszlásgörbe meredeksége 12/k. A khí-négyzet eloszlás más függvényei jóval gyorsabban konvergálnak a normális eloszláshoz. Néhány példa:

  • Ha X ~ χ²(k), akkor 2 X {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2X}}} közel normálisan eloszlású, 2 k − 1 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2k-1}}} középértékkel.
  • Ha X ~ χ²(k), akkor X / k 3 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{3}]{X/k}}} közel normálisan eloszlású 1 − 2 / ( 9 k ) {\displaystyle \scriptstyle 1-2/(9k)} középértékkel, és 2 / ( 9 k ) . {\displaystyle \scriptstyle 2/(9k).} szórásnégyzettel[9] Ezt Wilson-Hilferty transzformációnak hívják.

Kapcsolódó eloszlások

  • lim k → ∞ χ k 2 ( x ) − μ k σ k → d   N ( 0 , 1 ) {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}^{2}(x)-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,} (normális eloszlás)
  • χ k 2 ∼ χ ′ k 2 ( 0 ) {\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)} (Nem-centrális khi-négyzet eloszlás nem-centralitás paraméterrel λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} )
  • Khí-négyzet eloszlás, a Pareto-eloszlás egy transzformációja
  • A T-eloszlás, a khí-négyzet eloszlás egy transzformációja
  • A T-eloszlás származtatható a khi-négyzet eloszlásból, és a normális eloszlásból
  • Nem-centrális T-eloszlás származtatható a khí-négyzet eloszlásból, és a normális eloszlásból

Statisztikailag független egységnyi szórásnégyzetes Gauss-eloszlású változók négyzeteinek szummája, melynek nincs zéró középértéke, a khí-négyzet eloszlás általánosításához vezet, és nem-centrális khi-négyzet eloszlásnak hívják. A khí-négyzet eloszlás természetesen kapcsolódik más eloszlásokhoz, melyeknek a Gauss-eloszláshoz van közük. Például:

  • Y F-eloszlású, Y ~ F(k1,k2) ha Y = X 1 / k 1 X 2 / k 2 {\displaystyle \scriptstyle Y={\frac {X_{1}/k_{1}}{X_{2}/k_{2}}}} ahol X1 ~ χ²(k1), és X2  ~ χ²(k2) statisztikailag független.
  • Ha X khí-négyzet eloszlású, akkor X {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {X}}} khí-eloszlású.
  • Ha X1  ~  χ2k1 és X2  ~  χ2k2 statisztikailag független, akkor X1 + X2  ~ χ2k1+k2. Ha X1 and X2 nem függetlenek, akkor X1 + X2 nem khi –eloszlású.

Általánosítás

A khí-négyzet eloszlást a Gaussi k, független, zéró középértékű, egységnyi szórásnégyzetű valószínűségi változók négyzeteinek szummájával kapjuk. Ennek az eloszlásnak az általánosítását úgy kaphatjuk, ha összegezzük más típusú Gaussi valószínűségi változók négyzeteit. A következőkben bemutatunk néhány ilyen eloszlást.

Khí-négyzet eloszlások

Nem-centrális khí-négyzet eloszlás

A nem-centrális khí-négyzet eloszlást a független gaussi valószínűségi változók négyzeteinek szummájával kapjuk, melyek egység szórásnégyzettel , és nem zéró középértékkel rendelkeznek.

Általánosított khí-négyzet eloszlás

Az általánosított khí-négyzet eloszlást a z′Az kvadratikus képletéből kapjuk, ahol z, a zéró középértékű Gaussi vektor, tetszőleges kovariáns mátrixxal, és A egy tetszőleges mátrix.

Gamma-, exponenciális- és kapcsolódó eloszlások

A X ~ χ²(k) khí-négyzet eloszlás, a gamma-eloszlás egy speciális esete, X ~ Γ(k/2, 1/2), ahol k egy egész. Mivel az exponenciális eloszlás szintén a Gamma-eloszlás egy speciális esete, ezért X ~ χ²(2), és X ~ Exp(1/2) egy exponenciális eloszlás. Az Erlang-eloszlás szintén a Gamma-eloszlás egy speciális esete, ezért ha X ~ χ²(k) páros k-val, akkor X is Erlang-eloszlású k/2 alakparaméterrel, és ½ skálaparaméterrel.

Alkalmazások

A khí-négyzet eloszlásnak számos alkalmazása ismert a statisztikában, például a khí-négyzet teszt, vagy a szórásnégyzetek becslése. Felveti a normális eloszlás középérték becslésének a problémáját, és a regressziós vonal meredekségének a becslését, a T-eloszláson keresztül. A szórásnégyet analízis problémájában is van szerepe, az F-eloszlással kapcsolatban, mely két független khí-négyzet valószínűségi változó arányának az eloszlása, mindegyik osztva a megfelelő szabadságfokkal. A következő táblázat olyan eloszlásokat mutat be, melyek neve ‘khí’-vel kezdődik, valamilyen statisztikához kapcsolódik, a Xi ∼ Normal(μi, σ2i), i = 1, ⋯, k, független valószínűségi változókra alapozva:

Név Statisztika
Khí-négyzet eloszlás ∑ i = 1 k ( X i − μ i σ i ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}
Nem-centrális khí-négyzet eloszlás ∑ i = 1 k ( X i σ i ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}
Khí-eloszlás ∑ i = 1 k ( X i − μ i σ i ) 2 {\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}
nem-centrális khí-eloszlás ∑ i = 1 k ( X i σ i ) 2 {\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}

Irodalom

  • Wilson, E.B – Hilferty, M.M: The distribution of chi-squared. Washington: Proceedings of the National Academy of Sciences. 1931. 684–688. o.  
  • Horváth Gézáné: Kvantitatív módszerek I.Fejezetek a valószínűségszámításból. (hely nélkül): PERFEKT ZRT. 2005. ISBN 9789633945902  
  • Jonhson, N.L.; S. Kotz, , N. Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions (Second Ed., Vol. 1, Chapter 18). (hely nélkül): John Willey and Sons. 1994. ISBN 0-471-58495-9  
  • Maddala, G.S: Limited-Dependent and Qualitative Variables in Econometrics. (hely nélkül): Cambridge University Press. 1983.  

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

  1. ↑ Milton Abramowitz; Irene Stegun, (szerk.) (1983) [June 1964]. "[Irene Stegun Chapter 26]". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 940. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
  2. ↑ NIST (2006). Engineering Statistics Handbook - Chi-Squared Distribution
  3. ↑ Jonhson, N.L., S. Kotz, , N. Balakrishnan. Continuous Univariate Distributions (Second Ed., Vol. 1, Chapter 18). John Willey and Sons (1994). ISBN 0-471-58495-9 
  4. ↑ Mood, Alexander, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes. Introduction to the Theory of Statistics (Third Edition, p. 241-246). McGraw-Hill (1974). ISBN 0-07-042864-6 
  5. ↑ (2009) „Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model”. Journal of Econometrics, 219–230. o, Kiadó: Elsevier. [2016. március 7-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2011. június 2.)  
  6. ↑ Chi-squared distribution, from MathWorld, Hozzáférés ideje: Feb. 11, 2009
  7. ↑ M. K. Simon, Probability Distributions Involving Gaussian Random Variables, New York: Springer, 2002, eq. (2.35), ISBN 978-0-387-34657-1
  8. ↑ Box, Hunter and Hunter. Statistics for experimenters. Wiley, 46. o. (2005) 
  9. ↑ Wilson, E.B.; Hilferty, M.M. (1931) "The distribution of chi-squared". Proceedings of the National Academy of Sciences, Washington, 17, 684–688.

Külső hivatkozások

  • A khí-négyzet eloszlás a MathWorld-ön
  • A khí-négyzet eloszlás a Debreceni Egyetem oldalán
  • A khí-négyzet eloszlás a Yale Egyetem oldalán
  • Szimuláció
  • Rövid leírás
  • Matematika Matematikai portál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap