Racionális egészfüggvény

Az n-edfokú racionális egészfüggvényeket, rövidebben polinomfüggvényeket az

${\displaystyle \ x\mapsto P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},~(a_{n}\neq 0,n\in \mathbb {N} )~}$

hozzárendelés definiálja, ahol az a_i-k valós (vagy komplex) számok. Például ${\displaystyle \ x\mapsto 2x^{3}-x^{2}+3/2}$ egy harmadfokú racionális egészfüggvény. Szorzással, összeadással és kivonással leírható függvények. Megadhatók más alakban is, például Horner-sémában vagy gyöktényezős felbontásban.

A polinomok az általánosabb racionális függvények közé tartoznak. Speciális esetei a lineáris függvény és a másodfokú függvény.

Cikkünkben főként valós racionális egészfüggvényekkel foglalkozunk, ami azt jelenti, hogy mind az együtthatók, mind az értelmezési tartomány valósak. Ahol komplex számok is szóba jöhetnek, ott azt külön jelezzük.

Példák

• Az ${\displaystyle f(x)=-2x^{3}+3x^{2}-5x+4}$ függvény harmadfokú polinom, melynek együtthatói ${\displaystyle -2,3,-5}$ és ${\displaystyle 4}$.
• Az ${\displaystyle f\colon x\mapsto -2x(x-1)(x+3)^{2}}$ polinomfüggvény gyöktényezős alakban van adva. Normálformára hozáshoz fel kell bontani a zárójeleket:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=-2x(x-1)(x+3)^{2}=(-2x^{2}+2x)(x^{2}+6x+9)\\&=-2x^{4}-10x^{3}-6x^{2}+18x,\end{aligned}}}$

Tehát ez a polinom negyedfokú, együtthatói ${\displaystyle -2,-10,-6,18}$ és ${\displaystyle 0}$.

• Egy ötödfokú polinom együtthatói rendre ${\displaystyle -1,0,{\sqrt {2}},-2\pi ,0,1}$, és normálalakja ${\displaystyle f(x)=-x^{5}+{\sqrt {2}}x^{3}-2\pi x^{2}+1}$.

Speciális esetek

Elemi racionális egészfüggvény

Az ${\displaystyle y=x^{n}}$ explicit egyenlettel adott függvény az ún. hatványfüggvények speciális esete, elemi függvény. Grafikonja az ${\displaystyle n=1}$ esetben egyenes, különben n-edfokú (elemi) parabola. A páros kitevőjű parabolák az Y tengelyre, a páratlanok az origóra szimmetrikusak. E függvények határértéke:

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }x^{n}=+\infty }$.
• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }x^{n}={\begin{cases}+\infty ,~n=2k\\-\infty ,~n=2k+1\end{cases}}}$

Módosított elemi függvények

A zérustól és 1-től különböző ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ együtthatóval az ${\displaystyle y=ax_{n}}$ egészfüggvények grafikonja az Y tengely irányában nyújtott/zsugorított, ${\displaystyle a<0}$ esetben az X tengelyre tükrözött (merőleges affinitás).

Általános polinomfüggvény

A polinomfüggvény természetes kitevőjű hatványfüggvények kombinációja. Grafikonja ún. n-edrendű görbe, mely az X tengelyt legfeljebb n pontban metszi/érinti (l.: az algebra alaptétele). Végtelenben vett határértéke a legmagasabb kitevőjű komponensével egyezik:

• ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }P_{n}(x)=\lim _{x\to \pm \infty }a_{n}x^{n}}$

Fontosabb polinomfüggvények

• ${\displaystyle n=0}$ esetén a függvény konstans, ${\displaystyle f\colon x\mapsto a_{0}}$
• ${\displaystyle n=1}$ esetén a függvény lineáris, ${\displaystyle f\colon x\mapsto a_{1}x+a_{0}}$. Itt ${\displaystyle a_{1}}$ a meredekség, és ${\displaystyle a_{0}}$ az ${\displaystyle y}$-tengelymetszet.
• Egyenes arányosság függvénye: ${\displaystyle y=ax}$ a lineáris függvény speciális esete.

A grafikonja egyenes, amelynek állását az ${\displaystyle a}$ együttható (meredekség) határozza meg.

• ${\displaystyle n=2}$ esetén a függvény másodfokú, ${\displaystyle f\colon x\mapsto a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$, ahol ${\displaystyle a_{2}}$, ${\displaystyle a_{1}}$ és ${\displaystyle a_{0}}$ rendre az ${\displaystyle a,b}$ és ${\displaystyle c}$ együtthatók.

A grafikonja parabola (kúpszelet), állása ${\displaystyle a}$ előjelétől függ.

• ${\displaystyle n=3}$ esetén a függvény harmadfokú, ${\displaystyle f\colon x\mapsto a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$, ahol ezek az együtthatók rendre az ${\displaystyle a,b,c}$ és ${\displaystyle d}$ együtthatók.

Grafikonját 3-adfokú parabolának is nevezik. Alakja az ${\displaystyle a}$ együttható és a ${\displaystyle \Delta =3ac-b^{2}}$ mennyiség előjelétől függ.

• ${\displaystyle n=4}$ esetén a függvény negyedfokú.

Algebrai tulajdonságok

A racionális egészfüggvények összeadása, kivonása, szorzása racionális egészfüggvényt eredményez. Ezzel a racionális egészfüggvények algebrát alkotnak ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vagy (komplex racionális egészfüggvények esetén) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ felett. A szakasz hátralevő része mindkét algebrára vonatkoztatható. Legyenek ${\displaystyle f}$ és ${\displaystyle g}$ racionális egészfüggvény. Ekkor

${\displaystyle \deg(f+g)\leq \max(\deg f,\deg g)}$

és

${\displaystyle \deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g}$.

ahol ${\displaystyle \deg f}$ az ${\displaystyle f}$ racionális egészfüggvény foka.

Továbbá két racionális egészfüggvény kompozíciója is racionális egészfüggvény. Azaz, ha racionális egészfüggvényt racionális egészfüggvénybe helyettesítünk, akkor racionális egészfüggvényt kapunk.

Szimmetria

• Ha az összes kitevő páros, akkor a függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. Ekkor a függvény páros: ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$.
• Ha az összes kitevő páratlan, akkor a függvény grafikonja szimmetrikus az origóra. Ebben az esetben a függvény páratlan: ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$.
• Ha mind páros, mind páratlan kitevők vannak, akkor a függvény nem páros és nem páratlan, de más tengelyekre vagy pontokra lehet szimmetrikus.

Példák:

• Az ${\displaystyle f\colon x\mapsto -2x^{6}+3x^{4}-x^{2}}$ függvény páros, mert csak páros kitevők szerepelnek: 6, 4, 2.
• Az ${\displaystyle f\colon x\mapsto x^{7}+x}$ függvény páratlan, mivel csak páratlan kitevők szerepelnek: 7 és 1.
• Az ${\displaystyle f\colon x\mapsto x^{3}+1}$ függvény nem páros és nem páratlan, de grafikonja szimmetrikus az ${\displaystyle W(0;1)}$ inflexiós pontra.
• A másodfokú racionális egészfüggvények grafikonja szimmetrikus a csúcspontjukhoz húzott függőlegesre.
• A harmadfokú racionális egészfüggvények grafikonja szimmetrikus az inflexiós pontjukra.

Határérték

A végtelenbeli viselkedést a legnagyobb, a nullához közeli viselkedést a legkisebb kitevőjű tag határozza meg.

A racionális egészfüggvények hatványfüggvények lineáris kombinációi. Lassabban növekszenek, mint az egynél nagyobb alapú exponenciális függvények, függetlenül az együtthatóktól.

A racionális egészfüggvények ${\displaystyle x\to 0}$ határértéke véges. Pontosabban, az y-tengelymetszetet a konstans tag adja meg. Ezen a helyen a meredekség éppen ${\displaystyle a_{1}}$. Az ${\displaystyle y}$ tengelymetszet helyén az érintő egyenlete ${\displaystyle y=a_{1}x+a_{0}}$.

Az ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ esetben a racionális egészfüggvények divergálnak. A pontos viselkedés az ${\displaystyle a_{n}}$ főegyüttható előjelétől függ. Nagy abszolútértékek esetén ebből a szempontból az ${\displaystyle a_{n}x^{n}}$ tag meghatározó, és a többi tag elhanyagolható; a függvény úgy viselkedik, ahogy a ${\displaystyle g(x)=a_{n}x^{n}}$. A továbbiakban ${\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {R} }$ az értelmezési tartomány, és ${\displaystyle \mathbb {W} }$ az értékkészlet.

	Páros n	Páratlan n
${\displaystyle a_{n}>0}$	A grafikon balról jobbra fentről indul, lemegy, majd ismét fel: ${\displaystyle f(x)\to \infty }$ ha ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {W} }$ alulról korlátos, a függvénynek van egy vagy több minimuma	A grafikon balról jobbra lentről indul és felmegy: ${\displaystyle f(x)\to -\infty }$ ha ${\displaystyle x\to -\infty }$ és ${\displaystyle f(x)\to \infty }$ ha ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} }$
${\displaystyle a_{n}<0}$	A grafikon balról jobbra lentről indul, felmegy, majd ismét le: ${\displaystyle f(x)\to -\infty }$ ha ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {W} }$ felülről korlátos, a függvénynek van egy vagy több maximuma	A grafikon balról jobbra fentről indul és lemegy: ${\displaystyle f(x)\to \infty }$ ha ${\displaystyle x\to -\infty }$ és ${\displaystyle f(x)\to -\infty }$ ha ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} }$

Például az ${\displaystyle f\colon x\mapsto -2x^{5}+4x^{3}-3x+1}$ függvény ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ esetén úgy viselkedik, mint ${\displaystyle g\colon x\mapsto -2x^{5}}$, azaz balról fentről jobbra lefelé halad. Foka ${\displaystyle n=5}$ páratlan, főegyütthatója ${\displaystyle a_{5}=-2<0}$ A függvényértékekre tehát: ${\displaystyle f(x)\to \infty }$, ha ${\displaystyle x\to -\infty }$, és ${\displaystyle f(x)\to -\infty }$, ha ${\displaystyle x\to \infty }$. Az ${\displaystyle x\to 0}$ esetben azonban úgy viselkedik, mint ${\displaystyle h(x)=-3x+1}$, ${\displaystyle y}$-tengelymetszete ${\displaystyle 1}$, és itt a meredeksége ${\displaystyle -3}$.

Gyökök

Legyen ${\displaystyle f}$ racionális egészfüggvény! Ekkor ${\displaystyle f}$ gyökei azok a ${\displaystyle \xi }$ értékek, ahol ${\displaystyle f}$ a nulla értéket veszi fel, azaz ${\displaystyle f(\xi )=0}$. Egy racionális egészfüggvénynek legfeljebb annyi gyöke lehet, amennyi a foka. Egyetlen kivétel a konstans ${\displaystyle f(x)=0}$ függvény, ami nulladfokú, de az összes valós szám gyöke. A többi nulladfokú, azaz konstans racionális egészfüggvénynek nincs gyöke. Ezzel teljesíti a feltételt, hiszen a fopka nulla, így az állítás szerint nem is lehetnek gyökei.

Tényezőkre bontás

Egy racionális egészfüggvény felírható lineáris tényezők és egy gyökök nélküli racionális egészfüggvény szorzataként. Azaz,

${\displaystyle f(x)=(x-x_{1})^{k_{1}}\cdot (x-x_{2})^{k_{2}}\dotsm (x-x_{m})^{k_{m}}\cdot g(x),}$

ahol ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}}$ gyökök, és ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{m}}$ a megfelelő gyökhelyek multiplicitása.

Például az

${\displaystyle f\colon x\mapsto -0{,}01\cdot x^{3}\cdot (x-2)\cdot (x+3)^{2}\cdot (x^{2}+1)}$

függvénynek háromszoros gyöke az ${\displaystyle x_{1}=0}$, egyszeres gyöke ${\displaystyle x_{2}=2}$, és kétszeres gyöke ${\displaystyle x_{3}=-3}$-ban. A ${\displaystyle -0{,}01}$ és az ${\displaystyle x^{2}+1}$ függvények sehol sem veszik fel a nulla értéket, további gyököket nem adnak.

A lineáris felbontás meghatározható például polinomosztással. Az algebra alaptétele szerint a racionális egészfüggvények a komplex számok fölött lineáris tényezőkre bonthatók. Hogyha az összes együttható valós, akkor minden gyökkel együtt a komplex konjugáltja is gyök. Ez kevésbé észlelhető a valós gyököknél, mivel ezek önmaguk konjugáltja, de a nem valós komplex gyökök párban lépnek fel. Mindez azt jelenti, hogy a racionális egészfüggvények felbonthatók legfeljebb másodfokú tényezők szorzatára.

A gyökök a deriválttal is kapcsolatban áll: ${\displaystyle x_{0}}$ pontosan akkor ${\displaystyle k}$-szoros gyöke ${\displaystyle f}$-nek, ha ${\displaystyle f(x_{0})=f'(x_{0})=\dotsb =f^{(k-1)}(x_{0})=0}$ és ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}$.

A függvény viselkedése a gyökök környezetében

Páratlan multiplicitás esetén a grafikon átmetszi az ${\displaystyle x}$ tengelyt. Ha a gyök egyszeres, akkor az átmetszés szöge nulla foknál nagyobb, és a helyi meredekségtől függ. Ha a páratlan fokszám legalább három, akkor a grafikon meredeksége nulla fok, a függvénynek nyeregpontja van.

Páros multiplicitás esetén a grafikon érinti az ${\displaystyle x}$ tengelyt. A függvényértékek itt nem váltanak előjelet. Ebben a pontban a függvénynek helyi szélsőértéke van.

A gyökök száma

Polinomosztással megmutatható, hogy a gyökök száma multiplicitással együtt sem nagyobb, mint a polinom foka.

Ha emellett számításba vesszük a folytonosságot, a viselkedést a gyökök környezetében és a ${\displaystyle x\to \pm \infty }$-ben, akkor következik, hogy a gyökök száma multiplicitással ugyanolyan paritású, mint a függvény foka. Páros fokú függvénynek páros, páratlan fokúnak páratlan számú gyöke van. Következik az is, hogy páratlan fokú racionális egészfüggvénynek van legalább egy gyöke.

További szabályok vannak a gyökök számára, például Descartes előjelszabálya vagy a Sturm-lánc.

A komplex számok fölött vizsgálódva, az algebra alaptétele szerint az elsőfokú racionális egészfüggvényeknek van komplex gyöke (ami lehet valós is). Multiplicitással számolva a gyökök száma megegyezik a racionális egészfüggvény fokával. Így például az ${\displaystyle x=2}$ az ${\displaystyle (x-2)^{2}}$ függvény kétszeres gyöke. Végeredményben a racionális egészfüggvények komplex tényezős lineáris tényezőkre bonthatók.

Korlátok

A racionális egészfüggvények gyökeinek abszolútértéke különféle módszerekkel felülről becsülhető. Valós korlátok becsülhetik felülről vagy alulról is a gyököket.

Valós korlátok

Legyen ${\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}$ pozitív valós szám, és ${\displaystyle f}$ racionális egészfüggvény! Ha ${\displaystyle f}$ valós gyökei a ${\displaystyle [-B,B]}$ intervallumba esnek, akkor ${\displaystyle B}$ gyökkorlátja ${\displaystyle f}$-nek. Ha ${\displaystyle f}$ valós gyökeinek felső korlátja ${\displaystyle B}$, akkor ${\displaystyle B}$ felső gyökkorlátja ${\displaystyle f}$-nek. Analóg definiálható az alsó gyökkorlát.

A továbbiakban legyen ${\displaystyle f=X^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}}$, azaz ${\displaystyle f}$ főegyütthatója egy! A nullától különböző konstanssal osztás a függvény értékeit is leosztja, de mivel a gyökökben a függvény értéke nulla, azért ezek a főegyütthatóval leosztott függvénynek is gyökei. Új gyökök nem keletkeznek, mivel ahol nincs gyök, ott a nullától különböző szám osztásával nem keletkezik nulla érték. Úgyhogy szorítkozhatunk az egy főegyütthatós racionális egészfüggvényekre. Egyes esetekben külön szerephez jut ${\displaystyle f}$ negatív együtthatóinak indexhalmaza, ${\displaystyle N=\left\{k\in \{0,1,\dotsc ,n-1\}\mid a_{k}<0\right\}}$, melynek méretét ${\displaystyle |N|}$ jelöli.

• ${\displaystyle B=\max \left\{\left.\left(|N|\cdot |a_{i}|\right)^{\frac {1}{n-i}}\right|i\in N\right\}}$ felső valós gyökkorlát (Cauchy-szabály),
• ${\displaystyle B=\min\{x\in \mathbb {R} :f^{(i)}(x)\geq 0{\text{ ahol }}i=0,\dotsc ,n\}}$ felső valós gyökkorlát (Newton-szabály),
• ${\displaystyle B=1+{\sqrt[{n-k}]{\alpha }}}$ felső valós gyökkorlát (Lagrange és Maclaurin szabálya), ahol ${\displaystyle \alpha =\max\{|a_{m}|:a_{m}<0\}}$ a legnagyobb abszolútértékű negatív együttható abszolútértéke, és ${\displaystyle k=\max\{m:a_{m}<0\}}$ a legnagyobb kitevő, melynek együtthatója negatív
• Minden ${\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}$, melyre teljesül az

${\displaystyle B^{n}\geq \sum _{i=0}^{n-1}|a_{i}|B^{i}}$

egyenlőtlenség, valós gyökkorlát (egy ilyen ${\displaystyle B}$ komplex együtthatós polinomok komplex gyökeinek abszolútértékére is korlát). Speciális esetek (lásd még Gersgorin-tétel)

• • ${\displaystyle B=1+\max \nolimits _{i=0,\,\dotsc ,\,n-1}|a_{i}|}$ és
  • ${\displaystyle B=\max \left(1,\sum _{i=0}^{n-1}|a_{i}|\right)}$.

Komplex korlátok

Legyen ${\displaystyle f}$ a komplex számokon értelmezett komplex együtthatós racionális egészfüggvény! Ekkor az abszolútértékre vonatkozó korlátok origó középpontú köröket határoznak meg a komplex számsíkon.

• Minden ${\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}$, ami eleget tesz az

${\displaystyle |a_{k}|B^{k}\geq \sum _{i\in \{0,\dotsc ,n\}\setminus \{k\}}|a_{i}|B^{i}}$

egyenletnek, definiál egy ${\displaystyle B}$ sugarú kört az origó körül, ami ${\displaystyle k}$ gyököt tartalmaz. Ez az egyenlőtlenség ${\displaystyle k=0,n}$ esetén mindig megoldható, de ${\displaystyle k=1,\dotsc ,n-1}$ esetén nem mindig.

• A ${\displaystyle k=n}$ esetben a valós gyökökre már ismert korlát adódik, az ott megadott közvetlen számítások ${\displaystyle B}$-re ugyanúgy működnek, mint valós esetben.
• A${\displaystyle k=0}$ esetben olyan kör adódik, ami nem tartalmaz gyököket. Ekkor ${\displaystyle 1/B}$ az ${\displaystyle x^{n}f(1/x)/a_{0}}$ reciprok polinom korlátja.

Gyökkeresési módszerek

Egy racionális egészfüggvény gyökeinek meghatározására több módszer is létezik. Általában iterációs módszerek, például a Newton-módszer, a regula falsi, vagy a polinomokra specializált Bairstow-módszer, illetve a Weierstraß-(Durand-Kerner)-eljárás alkalmazhatrók, habár ezek egymáshoz közeli gyökök esetén sokat veszítenek sebességükből.

A megoldóképletek csak alacsony fokszám (első, másod, harmad, negyedfok) esetén alkalmazhatók. Lineáris esetben ekvivalens átalakításokkal, mérlegelvvel is megtalálható a gyök. Magasabb fok esetén csak speciális alakú polinomokra alkalmazhatók megoldóképletek:

• A reciprok polinomok alakja

${\displaystyle f(x)=c_{0}\cdot x^{n}+c_{1}\cdot x^{n-1}+\dotsb +c_{1}\cdot x+c_{0}}$

ami azt jelenti, hogy ${\displaystyle c_{i}=c_{n-i}}$. Szavakkal, az együtthatók szimmetrikusak. Ekkor az ${\displaystyle z=x+1/x}$, illetve az ${\displaystyle z=x-1/x}$ helyettesítés segítségével a polinom foka a felére redukálható.

• A binomok alakja

${\displaystyle f(x)=x^{n}+c\,}$

Hogyha ${\displaystyle c}$ valós, akkor a gyökök:

${\displaystyle x_{k}={\sqrt[{n}]{c}}\cdot \exp \left({2k\pi \mathrm {i} \over n}\right),\quad c\geq 0}$

${\displaystyle x_{k}={\sqrt[{n}]{\vert c\vert }}\cdot \exp \left({(2k+1)\pi \mathrm {i} \over n}\right),\quad c<0}$,

ahol ${\displaystyle k=0,\dotsc ,n-1}$

• Ha egy gyököt valahogy megtaláltunk, akkor kiemelhetjük a hozzá tartozó lineáris tényezőt.
• Páros racionális egészfüggvény esetén minden fokszám páros:

${\displaystyle f(x)=c_{n}\cdot x^{n}+c_{n-2}\cdot x^{n-2}+c_{n-4}\cdot x^{n-4}+\dotsb +c_{4}\cdot x^{4}+c_{2}\cdot x^{2}+c_{0}}$

úgyhogy elvégezhető a ${\displaystyle z=x^{2}}$ helyettesítés. Ha találtunk egy ${\displaystyle z_{1}}$ megoldást akkor abból két megoldás adódik ${\displaystyle x}$-re:

${\displaystyle x_{1}={\sqrt {z_{1}}}}$ és ${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{1}}}}$

Hasonlóan lehet olyan racionális egéstfüggvények gyökeit keresni, melyek összes kitevője osztható egy adott pozitív egésszel.

• Páratlan racionális egészfüggvény esetén minden fokszám páratlan:

${\displaystyle f(x)=c_{n}\cdot x^{n}+c_{n-2}\cdot x^{n-2}+\dotsb +c_{5}\cdot x^{5}+c_{3}\cdot x^{3}+c_{1}\cdot x}$

Mivel egy páratlan racionális egészfüggvénynek nincs konstans tasgja, azért kiemeljük belőle az ${\displaystyle x}$-et. Így a racionális egészfüggvény másik tényezője páros racionális egészfüggvény lesz. Hasonlóan csökkenthető a fokszám akkor, ha a legalacsonyabb fokú tag magasabb fokú.

Differenciál- és integrálszámítás

A racionális egészfüggvények folytonosan differenciálhatók teljes ${\displaystyle \mathbb {R} }$-en. Ezzel az egészfüggvények közé tartozik, hiszen az egészfüggvények definíciója éppen az, hogy teljes ${\displaystyle \mathbb {R} }$-en folytonosan differenciálhatók. A derivált meghatározható a szorzat-, az összeg- és a hatványszabállyal. Ha a racionális egészfüggvény alakja

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$

akkor a derivált

${\displaystyle f'(x)=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}}$.

Kompakt intervallumon minden racionális egészfüggvény integrálható. Emellett minden racionális egészfüggvénynek van határozatlan integrálja:

${\displaystyle \int {\bigg (}\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}{\bigg )}dx=\sum _{k=0}^{n}\int a_{k}x^{k}dx=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}}{k+1}}x^{k+1}+c,}$

ahol ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ tetszőleges konstans.

Például az ${\displaystyle f(x)=2x^{3}-4x^{2}+5x-1}$ függvény deriválása:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=(2x^{3}-4x^{2}+5x-1)'\\&=(2x^{3})'-(4x^{2})'+(5x)'-1'\\&=2(x^{3})'-4(x^{2})'+5(x^{1})'-1(x^{0})'\\&=2\cdot 3x^{2}-4\cdot 2x+5\cdot 1x^{0}-1\cdot 0\\&=6x^{2}-8x+5\end{aligned}}}$

Ugyanennek a függvénynek a határozatlan integrálja:

${\displaystyle \int (2x^{3}-4x^{2}+5x-1)dx={\frac {1}{2}}x^{4}-{\frac {4}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}-x+c,c\in \mathbb {R} .}$

Helyi szélsőértékek

A helyi szélsőértékek meghatározhatók az első derivált segítségével. Ugyanis a helyi szélsőértékekben az érintő meredeksége nulla, azaz a derivált nulla. Ez fordítva nem igaz, a derivált nullhelye nem biztos, hogy helyi szélsőértéket jelez, emiatt az így kiszámolt pontokat ellenőrizni kell.

Általános szabályok

• Ahol a függvénynek páros multiplicitású gyöke van, ott szélsőértéke van.
• Ahol az első derivált negatívból pozitívra vált, ott a függvénynek helyi minimuma van. Ahol az első derivált pozitívból negatívra vált, ott a függvénynek helyi maximuma van. Ahol a derivált nem vált előjelet, ott nincs helyi szélsőérték.
• Ha a második derivált az első derivált nullhelyénél pozitív vagy negatív, akkor ott az első derivált előjelet vált. Ha a második derivált pozitív, akkor negatívból pozitívba; ha a második derivált negatív, akkor pozitívból negatívra vált. Ha a második derivált is nulla, akkor ott nem biztos, hogy szélsőérték van. A helyet más módszerekkel tovább kell vizsgálni.
• Ahol az első derivált gyöke páratlan multiplicitású, akkor a racionális egészfüggvénynek ott szélsőértéke van. Ha a multiplicitás páros, akkor ott nincs szélsőérték.

Számuk

Mivel a gyökök száma multiplicitással együtt sem nagyobb, mint a polinom foka, azért következik, hogy egy ${\displaystyle n}$-edfokú polinomnak legfeljebb ${\displaystyle n-1}$ szélsőértéke lehet.

Ha emellett még figyelembe vesszük a függvény viselkedését ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ esetén és a nullhelyek környékén, következik, hogy páros fokú függvénynek páratlan, páratlan fokú függvénynek páros számú helyi szélsőértéke van.

A fentiekből az is kikövetkeztethető, hogy páros fokú függvény esetén az egyik szélsőérték abszolút szélsőérték, a főegyüttható előjelétől függően maximum vagy minimum.

Inflexiós pontok

Általános szabályok

• Inflexiós pont ott lehet, ahol a függvény második deriváltjának nullhelye van.
• Ahol a függvénynek páratlan, és multiplicitása legalább három, akkor ott a függvénynek teraszpontja van, ami inflexiós pont.
• Ahol a második derivált előjelet vált, ott inflexiós pont van.
• Ha a harmadik derivált a második derivált egy nullhelyén nullától különböző értéket vesz fel, akkor ott a második derivált előjelet vált. Ha viszont a harmadik derivált is nulla, akkor nem biztos, hogy ott inflexiós pont van. A helyet tovább kell vizsgálni.
• Ha a második derivált egy nullhelyének multiplicitása páros, akkor ott nincs inflexiós pont. Ha a multiplicitás páratlan, akkor ott inflexiós pont van. Ha itt még az első derivált nulla, akkor ez teraszpont is.
• Harmadfokú függvények esetén:

• A helyi minimum és maximum, ha létezik, akkor szimmetrikus az inflexiós pontra.
• Ha a függvény összes, nem feltétlenül különböző gyöke valós, akkor a függvény inflexiós pontja megkapható a gyökök multiplicitással súlyozott számtani közepeként. Ha csak egy valós gyök van, akkor a komplex gyököket is számításba kell venni. Mivel ezek konjugáltak, azért a képzetes részek kiejtik egymást.

Számuk

A nullhelyekről szóló tétel szerint egy ${\displaystyle n}$-edfokú racionális egészfüggvénynek legfeljebb ${\displaystyle n-2}$ inflexiós pontja lehet.

Hozzávéve ehhez a függvény viselkedését ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ esetén és a nullhelyek környékén kapjuk, hogy pozitív páros fok esetén az inflexiós pontok száma páros, és legalább három páratlan fok esetén az inflexiós pontok száma páratlan.

Az is következik, hogy ha a fokszám legalább három, akkor a függvénynek van inflexiós pontja.

Görbeillesztés

A görbeillesztési feladat a következő: Adott néhány pont a koordináta-rendszerben, és keresünk egy adott típusú függvényt, ami ezekre illeszkedik. Gyakori, hogy racionális egészfüggvényt kell találni, és további feltételeknek (ilyen lehet, hogy a derivált néhány értéke is adva van, illetve a fokszámot is megadják) eleget tenni. Az értékekből és a fokszámból adódik egy lineáris egyenletrendszer az együtthatókra. Ebben a feladatban szokás az együtthatókat különböző betűkkel jelölni, tehát ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle a_{n-1}\dots }$ helyett az ${\displaystyle a,b\dots }$ jelölést használják. Ennek megoldásával megkapjuk a függvény együtthatóit.

Például keresünk egy alacsony fokú racionális egészfüggvényt, ami szimmetrikus az ${\displaystyle y}$tengelyre, és a ${\displaystyle W(1;3)}$ inflexiós pontban meredeksége 2.

• Mivel a függvény szimmetrikus az ${\displaystyle y}$ tengelyre, azért ez egy páros függvény, így összes tagja páros fokú.
• Mivel van inflexiós pont, azért a fok nem lehet kettő; a lehetséges legkisebb fok négy.

• Keressük a függvényt az

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c}$

alakban.

• Lévén inflexiós pontról szó, két deriváltra van szükségünk:

${\displaystyle f'(x)=4ax^{3}+2bx}$

${\displaystyle f''(x)=12ax^{2}+2b}$

• A grafikon átmegy a ${\displaystyle W}$ ponton, emiatt

${\displaystyle 3=a\cdot 1^{4}+b\cdot 1^{2}+c}$

• Itt a meredekség kettő, azaz behelyettesítve az első deriváltba:

${\displaystyle 2=4a\cdot 1^{3}+2b\cdot 1}$

• A ${\displaystyle W}$ pont inflexiós pont, tehát itt a második derivált nulla:

${\displaystyle 0=12a\cdot 1^{2}+2b}$

Ezzel már kész is a lineáris egyenletrendszer:

${\displaystyle a+b+c=3}$

${\displaystyle 4a+2b=2}$

${\displaystyle 12a+2b=0}$

Megoldva:

${\displaystyle a=-0{,}25;\;b=1{,}5;\;c=1{,}75}$.

Így a keresett függvény:

${\displaystyle f(x)=-0{,}25x^{4}+1{,}5x^{2}+1{,}75}$

Alkalmazások

• Sok görbe viszonylag jól közelíthető racionális egészfüggvény grafikonjával, például tájdeformációk, ugrósáncok.
• Geometriai feladatok is gyakran oldhatók meg racionális egészfüggvényekkel.

• Ha egy téglalap alakú kartonpapírból nyitott dobozt hajtogatunk úgy, hogy a csúcsoknál kivágjuk a megfelelő méretű négyzeteket, akkor egy harmadfokú racionális egészfüggvényt kapunk. Jelölje a téglalap két oldalát ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$! Ekkor a doboz térfogata ${\displaystyle V(x)=4x^{3}-2(a+b)x^{2}+abx}$.
• Egyenlő méretű gömb alakú tárgyakat, például narancsokat gúlába halmozva, ha az alap egy oldala mentén ${\displaystyle n}$ tárgy van, akkor a gúlában ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}(n^{3}+3n^{2}+2n)}$ tárgy fér el.

• Gazdasági alkalmazásokban az árbevétel függvény gyakran harmadfokú racionális egészfüggvény^[forrás?]
• Mivel a racionális egészfüggvények könnyen kezelhetők, azért használják őket más függvények közelítésére. Lásd Taylor-sor és Weierstrass approximációs tétele. Többnyire az analízisben és a numerikus számításokban használják.
• Interpolációkban gyakran racionális egészfüggvényeket vagy szakaszonként racionális egészfüggvényeket használnak görbeillesztésre. Lásd polinominterpoláció, spline interpoláció.
• Racionális egészfüggvények értéke egy-egy pontban Horner-elrendezéssel hatékonyan számítható.

Kapcsolódó cikkek

• Polinom
• Racionális törtfüggvény

További információk

• Alice és Bob - 26. rész: Alice és Bob átlépi a célvonalat

Irodalom

Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987.

Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.

Reiman István: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, 1992)

F. Reinhardt – H. Soeder: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)

Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)

H. Schneider, G. Stein: Mathematik 11 und Mathematik 12: Analysis für nichttechnische Ausbildungsrichtungen der Fachoberschule.

R. Schöwe, J. Knapp, R. Borgmann: Analysis: Kaufmännisch-wirtschaftliche Richtung für Fachoberschule.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Ganzrationale Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.