Wedderburn-tétel

Wedderburn tétele az absztrakt algebrai tételek közé tartozik. Azt állítja, hogy minden véges ferdetest test, vagyis a szorzás kommutatív. Tehát a végességből következik a kommutativitás. Ebből azonnal adódik, hogy egy olyan ferdetest, ami nem test, végtelen sok elemet tartalmaz; ilyen például a kvaterniók ferdeteste.

A tételt először Joseph Wedderburn^[1] bizonyította be 1905-ben. Azóta más matematikusok újabb bizonyításokat is találtak; köztük talán Ernst Witt^[2] alábbi gondolatmenete a legismertebb.^[3]

Bizonyítás (Witt, 1931)

Tétel: Minden véges ferdetest kommutatív.

Bizonyítás: Legyen ${\displaystyle \mathbb {D} }$ véges ferdetest. Tekintsük ${\displaystyle \mathbb {D} }$ centrumát; ez test. Jelöljük ezt a testet ${\displaystyle \mathbb {F} }$-fel, elemszámát q-val. ${\displaystyle \mathbb {D} }$ n dimenziós vektortér F fölött egy n természetes számra.

${\displaystyle \mathbb {D} }$ elemszáma ezzel qⁿ, ezért multiplikatív csoportja qⁿ-1 elemű (nem tartalmazza a nullelemet). Megmutatható, hogy ennek centruma F multiplikatív csoportja. Legyen ${\displaystyle a\in \mathbb {D} \setminus \mathbb {F} .}$

Vegyük a centralizátorát. Ez azokból az elemekből áll, amikkel a felcserélhető. Ez részferdetest ${\displaystyle \mathbb {D} }$-ben; elemszáma q^d, ahol d osztója n-nek. Ennek multiplikatív csoportja megegyezik a ${\displaystyle \mathbb {D} }$ multiplikatív csoportjában vett centralizátorral.

${\displaystyle \mathbb {D} }$ multiplikatív csoportjának osztályegyenletével

${\displaystyle q^{n}-1=q-1+\sum _{d<n:d\mid n}{\frac {q^{n}-1}{q^{d}-1}}}$

Az n-edik körosztási polinom osztója az ${\displaystyle {\frac {x^{n}-1}{x^{d}-1}}}$ hányadosnak minden d < n osztóra.

Ebből ${\displaystyle \Phi _{n}(q)\mid q-1,}$ ahol ${\displaystyle q\geq 2.}$ Ez csak úgy lehet, hogy n = 1, tehát ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {D} }$.

Források

1. ↑ J. H. M. Wedderburn: A theorem on finite algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), 349-352.
2. ↑ Ernst Witt Über die Kommutatitivät endlicher Schiefkörper Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg vol. 8 p413 1931
3. ↑ Magyarul és részletesen ld. M. Aigner – G. M. Ziegler: Bizonyítások a Könyvből. Typotex, Bp., 2004; ch. 5., p. 25-28

• Pelikán József: Algebra