Funzione di Mittag-Leffler

La funzione di Mittag-Leffler E α , β ( z ) {\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)} è una funzione speciale introdotta dal matematico svedese Gösta Mittag-Leffler nel 1903. È definita con la serie di potenze:

E α , β ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z k Γ ( α k + β ) {\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}}}

dove Γ {\displaystyle \Gamma } è la funzione Gamma.

Le funzioni di Mittag-Leffler sono importanti nella teoria delle equazioni alle derivate parziali di ordine frazionale.

Casi speciali

Funzione esponenziale:

E 1 , 1 ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z k Γ ( k + 1 ) = ∑ k = 0 ∞ z k k ! = exp ⁡ ( z ) . {\displaystyle E_{1,1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).}

Funzione degli errori:

E 1 / 2 , 1 ( z ) = exp ⁡ ( z 2 ) erfc ⁡ ( − z ) . {\displaystyle E_{1/2,1}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z).}

Somma di una progressione geometrica:

E 0 , 1 ( z ) = 1 1 − z . {\displaystyle E_{0,1}(z)={\frac {1}{1-z}}.}

Funzione iperbolica:

E 2 , 1 ( z ) = cosh ⁡ ( z ) . {\displaystyle E_{2,1}(z)=\cosh({\sqrt {z}}).}

Rappresentazione integrale di Mittag-Leffler

E α , β ( z ) = 1 2 π i ∫ C t α − β e t t α − z d t {\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {t^{\alpha -\beta }e^{t}}{t^{\alpha }-z}}\,dt}

dove C passa per − ∞ {\displaystyle -\infty } e contiene le singolarità e i punti ramificati dell'integrando.

Bibliografia

  • M.G. Mittag-Leffler (1903), Une généralisation de l'intégrale de Laplace-Abel, Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences, 136 pp 537–539.
  • M.G. Mittag-Leffler (1904), Sur la nouvelle fontion E α ( x ) {\displaystyle E_{\alpha }(x)} , Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences 137, pp 554–558.
  • M.G. Mittag-Leffler (1904), Sopra la funzione E α ( x ) {\displaystyle E_{\alpha }(x)} , Rom. Acc. L. Rend. 13_1, 3-5.
  • M.G. Mittag-Leffler (1905), Sur la representation analytique d'une branche uniforme d'une fonction monogene, Acta Mathematica, 29, pp 101–181.
  • Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S.V., Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications (Springer, New York, 2014) 443 pages ISBN 978-3-662-43929-6

Altri progetti

Altri progetti

  • Wikimedia Commons
  • Collabora a Wikimedia Commons Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su funzione di Mittag-Leffler

Collegamenti esterni

  • Mathworld Mittag-Leffler function
  • I. Podlubny The Laplace Transform Method for Linear Differential equations of the Fractional Order
  • R. K. Saxena, A. M. Mathai e H. J. Haubold On Fractional Kinetic Equations
Controllo di autoritàGND (DE) 1065696272
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica