Grande icosaedro troncato

Grande icosaedro troncato
TipoPoliedro stellato uniforme
Forma facce20 esagoni
12 pentagrammi
Nº facce32
Nº spigoli90
Nº vertici60
Caratteristica di Eulero2
Incidenza dei vertici6.6.5/2
Notazione di Wythoff2 5/2 | 3
2 5/3 | 3
Notazione di Schläflit{3,5/2} o t0,1{3,5/2}
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetriaIh, [5,3], *532
DualeGrande pentacisdodecaedro stellato
ProprietàNon convessità
Politopi correlati
Figura al vertice
Poliedro duale
Manuale

In geometria, il grande icosaedro troncato è un poliedro stellato uniforme avente 32 facce - 20 esagonali e 12 a forma di pentagramma - 90 spigoli e 60 vertici.[1]

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del grande icosaedro troncato sono date da tutte le permutazioni pari di:

( ± 1 , 0 , ± 3 φ − 1 ) {\displaystyle \left(\,\pm 1,\,0,\,\pm 3\varphi ^{-1}\,\right)}
( ± 2 , ± φ − 1 , ± φ − 3 ) {\displaystyle \left(\,\pm 2,\,\pm \varphi ^{-1},\,\pm \varphi ^{-3}\,\right)}
( ± ( 1 + φ − 2 ) , ± 1 , ± 2 φ − 1 ) {\displaystyle \left(\,\pm (1+\varphi ^{-2}),\,\pm 1,\,\pm 2\varphi ^{-1}\,\right)}

dove φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} è la sezione aurea.

Poliedri correlati

Il grande icosaedro troncato, spesso indicato con il simbolo U55 e avente come inviluppo convesso un rombicosidodecaedro non uniforme, è il risultato del troncamento di un grande icosaedro; di seguito un'animazione che mostra la sequenza di troncamento da un grande dodecaedro stellato, {5⁄2, 3}, a un grande icosaedro, {3, 5⁄2} e viceversa, con il grande icosaedro troncato come passaggio intermedio:

Name Grande
dodecaedro
stellato 		Icosaedro Grande
icosidodecaedro 		Grande
icosaedro
troncato 		Grande
icosaedro
Diagramma di
Coxeter-Dynkin
Immagine

Grande pentacisdodecaedro stellato

Grande pentacisdodecaedro stellato
TipoPoliedro stellato
Forma facceTriangoli isosceli
Nº facce60
Nº spigoli90
Nº vertici32
Caratteristica di Eulero2
Gruppo di simmetriaIh, [5,3], *532
DualeGrande icosaedro troncato
Manuale

Il grande pentacisdodecaedro stellato è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande icosaedro troncato, avente per facce 60 triangoli isosceli.[2] Dato un grande icosaedro troncato di spigolo pari a 1, immaginando il grande pentacisdodecaedro stellato come composto da 60 facce intersecanti a forma di triangolo isoscele, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, le facce risultanti hanno una coppia di angoli uguali di ampiezza pari a arccos ⁡ ( 3 4 + 1 12 5 ) ≈ 20 , 554 442 656 71 ∘ {\displaystyle \arccos({\frac {3}{4}}+{\frac {1}{12}}{\sqrt {5}})\approx 20,554\,442\,656\,71^{\circ }} e l'angolo al vertice di ampiezza pari a arccos ⁡ ( − 7 36 − 1 4 5 ) ≈ 138 , 891 114 686 59 ∘ {\displaystyle \arccos(-{\frac {7}{36}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}})\approx 138,891\,114\,686\,59^{\circ }} , con la base di lunghezza pari a 3 1 + 5 2 ≈ 4 , 85410 {\displaystyle 3{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 4,85410} e i due lati uguali di lunghezza pari a 9 1 + 2 5 19 ≈ 2 , 59206 {\displaystyle 9{\frac {1+2{\sqrt {5}}}{19}}\approx 2,59206} .

Note

  1. ^ Roman Maeder, 55: great truncated icosahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.
  2. ^ Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 75. URL consultato il 20 marzo 2024.

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Grande icosaedro troncato, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (EN) Eric W. Weisstein, Grande pentacisdodecaedro stellato, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.
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