Iterazione di punto fisso

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In analisi numerica, l'iterazione di punto fisso o iterazione funzionale è un metodo per trovare le radici di una funzione, ovvero per risolvere un'equazione nella forma ${\displaystyle f(x)=0}$.

Se ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ sono due funzioni tali che ${\displaystyle g(x)=x-f(x)}$, allora si ha ${\displaystyle f(\alpha )=0}$ se e solo se ${\displaystyle g(\alpha )=\alpha }$, cioè ${\displaystyle \alpha }$ è radice di ${\displaystyle f}$ se e solo se è punto fisso di ${\displaystyle g}$. Il metodo consiste nel risolvere l'equazione ${\displaystyle g(x)=x}$ dove la generica espressione di ${\displaystyle g}$ è:

${\displaystyle g(x)=x-f(x)+F(f(x))\qquad F(0)=0}$

Si vede quindi che ${\displaystyle g}$, ovvero la funzione di iterazione, può essere scelta in vari modi. Ad esempio se ${\displaystyle f(x)=x^{2}+x+1}$ si può scegliere:

${\displaystyle g(x)=-x^{2}-1\qquad g(x)=-1-{\frac {1}{x}}\dots }$

La soluzione si approssima (scelto un punto ${\displaystyle x_{0}}$ iniziale) con la successione:

${\displaystyle x_{n+1}=g(x_{n})}$

La convergenza del metodo è garantita sotto determinate ipotesi da alcuni risultati teorici.

In primo luogo, se esiste un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ tale che:

• ${\displaystyle g:[a,b]\rightarrow [a,b]}$
• ${\displaystyle g\in C^{1}([a,b])}$
• ${\displaystyle |g'(x)|<1\;\forall x\in [a,b]}$

allora ${\displaystyle g}$ ha un unico punto fisso in ${\displaystyle [a,b]}$ (è una contrazione) e se ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$ la successione sopra definita converge ad esso linearmente.

Tuttavia non è sempre facile determinare un intervallo siffatto. Se però si conosce bene il comportamento di ${\displaystyle g}$ nei pressi del punto fisso, si può sfruttare il teorema di Ostrowski. Se:

• ${\displaystyle g\in C^{1}(I)}$, dove ${\displaystyle I}$ è un intorno del punto fisso ${\displaystyle \alpha }$
• ${\displaystyle |g'(\alpha )|<1}$

allora ${\displaystyle \exists \delta >0}$ tale che se ${\displaystyle |x_{0}-\alpha |<\delta }$ la successione converge ad ${\displaystyle \alpha }$. Si noti che se la seconda ipotesi non è verificata, o c'è divergenza o non si può dir nulla (nel caso dell'uguaglianza). La velocità di convergenza aumenta con l'ordine di derivabilità.

Il metodo delle corde e quello di Newton si possono vedere come casi particolari dell'iterazione di punto fisso, usando come funzioni di iterazione rispettivamente:

${\displaystyle g(x)=x-{\frac {b-a}{f(b)-f(a)}}f(x)}$

${\displaystyle g(x)=x-{\frac {f(x)}{f'(x)}}}$

• (EN) Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 3rd, PWS Publishers, 1985, ISBN 0-87150-857-5.

• Calcolo di uno zero di una funzione
• Metodo delle corde
• Metodo delle tangenti
• Punto fisso
• Teorema delle contrazioni

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