Sistema dinamico lineare stazionario discreto

In teoria dei sistemi, un sistema dinamico lineare stazionario discreto o sistema dinamico lineare stazionario a tempo discreto, spesso abbreviato in sistema LTI discreto, è un sistema dinamico lineare stazionario che ha in ingresso un segnale a tempo discreto.

Un sistema dinamico stazionario discreto è un sistema discreto i cui parametri non dipendono dal tempo:

${\displaystyle x(n+1)=f(x_{0},n_{0},u(n))}$

${\displaystyle y(n)=h(x_{0},n_{0},u(n))}$

dove ${\displaystyle x(n)}$ sono le variabili di stato al tempo ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle x_{0}}$ le variabili di stato al tempo ${\displaystyle n=0}$, ${\displaystyle u(n)}$ e ${\displaystyle y(n)}$ le variabili di ingresso e uscita al tempo ${\displaystyle n}$.

Un sistema è lineare quando dipende linearmente dalle variabili di stato e dalle variabili di ingresso, ed in tal caso si può escrivere in forma matriciale

${\displaystyle x(n+1)=A(n)x(n)+B(n)u(n)}$

${\displaystyle y(n)=C(n)x(n)+D(n)u(n)}$

dove ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle D}$ sono matrici di dimensioni opportune che premoltiplicano ${\displaystyle x(n)}$ e ${\displaystyle u(n)}$.

Un processo lineare stazionario (LTI) è quindi descritto da equazioni matriciali:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)\\y(n)=Cx(n)+Du(n)\end{array}}\right.}$

dove le matrici sono costanti.

Un sistema a tempo discreto trasforma la successione in ingresso ${\displaystyle \{x\}}$ in un'altra successione ${\displaystyle \{y\}}$, data dalla convoluzione discreta con la risposta ${\displaystyle h}$ alla delta di Kronecker:

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k]}$

Gli elementi di ${\displaystyle \{y\}}$ possono dipendere da ogni elemento di ${\displaystyle \{x\}}$. Solitamente ${\displaystyle y[n]}$ dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo ${\displaystyle n}$.

La maggior parte dei segnali a tempo discreto sono ottenuti da un segnale a tempo continuo considerandone il valore assunto in precisi istanti di tempo, solitamente separati da un intervallo temporale fisso ${\displaystyle T}$. La procedura che permette di ottenere un segnale discreto a partire da uno continuo è detta campionamento, ed è alla base della conversione analogico-digitale (ADC). Essa trasforma una funzione continua ${\displaystyle x(t)}$ nel segnale discreto:

${\displaystyle x[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} }$

con ${\displaystyle 1/T}$ la frequenza di campionamento. Il teorema del campionamento pone un limite alla massima frequenza del segnale continuo, che non può essere superiore ad ${\displaystyle 1/(2T)}$ se si vuole evitare perdita di informazione (fenomeno di aliasing).

Come nel caso di sistemi a tempo continuo, se ${\displaystyle O}$ è l'operatore di trasformazione al tempo n:

${\displaystyle y[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n}\{x\}}$

la successione:

${\displaystyle h[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n}\{\delta [m]\}}$

caratterizza completamente il sistema. Per mostrare questo, dato che vale l'identità:

${\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k]}$

si ha:

${\displaystyle y[n]=O_{n}\{x\}=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k]\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k]\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n-k}\{\delta [m]\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]}$

L'operatore ${\displaystyle O_{n}}$ restituisce un'uscita proporzionale alla media pesata di ${\displaystyle x[k]}$ con funzione peso data da ${\displaystyle h[-k]}$. Se ${\displaystyle h[k]=0}$ per valori di ${\displaystyle k}$ negativi il sistema è causale.

Gli esponenziali del tipo ${\displaystyle z^{n}=e^{sTn}}$, con ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, sono autofunzioni di un operatore lineare tempo-invariante. Infatti, detto ${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$ il periodo di campionamento e ${\displaystyle z=e^{sT}}$, con ${\displaystyle z,s\in \mathbb {C} }$, si supponga ${\displaystyle x[n]=\,\!z^{n}}$ l'ingresso del sistema. Se ${\displaystyle h[n]}$ è la risposta impulsiva, si ha:

${\displaystyle y[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}$

La funzione:

${\displaystyle H(z)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}$

dipende solo dal parametro z, ed è l'autovalore associato all'autovettore (autofunzione) ${\displaystyle z^{n}}$ del sistema LTI.

La trasformata zeta:

${\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}}$

è la funzione di trasferimento del sistema. Di particolare interesse è il caso in cui le autofunzioni siano sinusoidi pure ${\displaystyle e^{j\omega n}}$, con ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$, che possono essere scritte come ${\displaystyle z^{n}}$, dove ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$. Per funzioni di questo tipo la funzione di trasferimento è data dalla trasformata di Fourier a tempo discreto:

${\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}}$

Grazie alle proprietà della convoluzione, nel dominio della trasformata si ottiene una moltiplicazione:

${\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}}$

Si vuole risolvere l'equazione:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)\\y(n)=Cx(n)+Du(n)\end{array}}\right.}$

Si deve valutare per ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$ e pertanto si ha:

${\displaystyle x(1)=Ax(0)+Bu(0)\ }$

${\displaystyle x(2)=Ax(1)+Bu(1)=A^{2}x(0)+ABu(0)+Bu(1)\ }$

${\displaystyle x(3)=Ax(2)+Bu(2)=A^{3}x(0)+A^{2}Bu(0)+ABu(1)+Bu(2)\ }$

${\displaystyle x(n)=A^{n}x(0)+A^{n-1}Bu(0)+A^{n-2}Bu(1)+...+Bu(n-1)\ }$

Si ottiene:

${\displaystyle x(n)=A^{n}x(0)+\sum _{m=0}^{n-1}A^{m}Bu(n-m-1)\ }$

Posto ${\displaystyle l=n-m-1}$ si ha ${\displaystyle m=n-l-1}$, e quindi la soluzione dell'equazione matriciale alle differenze è:

${\displaystyle x(n)=A^{n}x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}A^{n-l-1}Bu(l)}$

Occorre distinguere i seguenti casi:

• ${\displaystyle A}$ ammette soltanto autovalori reali con molteplicità algebrica uguale alla molteplicità geometrica per ogni autovalore.
• ${\displaystyle A}$ ammette soltanto autovalori complessi coniugati.
• ${\displaystyle A}$ ammette sia autovalori reali che complessi coniugati.
• ${\displaystyle A}$ non è diagonalizzabile.

In tal caso considerata la matrice ${\displaystyle P}$, n per n, le cui colonne sono gli autovettori di ${\displaystyle A}$ linearmente indipendenti che generano ciascun autospazio relativo ad ogni autovalore si ottiene, dalla teoria della diagonalizzazione delle matrici:

${\displaystyle P^{-1}AP=\Lambda \ }$

dove ${\displaystyle \Lambda }$ è la matrice diagonale in cui sulla diagonale principale vi sono gli autovalori di ${\displaystyle A}$ ripetuti eventualmente ciascuno con la propria molteplicità. In particolare, se gli autovalori di ${\displaystyle A}$ sono reali e distinti sulla matrice diagonale ${\displaystyle \Lambda }$ vi saranno gli n autovalori distinti di ${\displaystyle A}$. Essendo ${\displaystyle A=P\Lambda P^{-1}}$ allora:

${\displaystyle A^{n}=(P\Lambda P^{-1})(P\Lambda P^{-1})...(P\Lambda P^{-1})=P\Lambda ^{n}P^{-1}\ }$

pertanto, la soluzione dell'equazione matriciale alle differenzè è:

${\displaystyle x(n)=P\Lambda ^{n}P^{-1}x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}P\Lambda ^{n-l-1}P^{-1}Bu(l)\ }$

Si nota che la risposta libera nello stato ottenuta ponendo ${\displaystyle u(t)=0}$ è:

${\displaystyle x_{l}(n)=P\Lambda ^{n}P^{-1}x(0)\ }$

mentre la risposta forzata nello stato, ottenuta ponendo ${\displaystyle x(0)=0}$, è:

${\displaystyle x_{f}(n)=\sum _{l=0}^{n-1}P\Lambda ^{n-l-1}P^{-1}Bu(l)\ }$

Inoltre la risposta libera nell'uscita per ${\displaystyle u(l)=0}$ è:

${\displaystyle y_{l}(n)=CP\Lambda ^{n}P^{-1}x(0)\ }$

mentre la risposta forzata nell'uscita' per ${\displaystyle x(0)=0}$ è:

${\displaystyle y_{f}(n)=\sum _{l=0}^{n-1}CP\Lambda ^{n-l-1}P^{-1}Bu(l)+Du(n)\ }$

Volendo analizzare il caso in cui ${\displaystyle A}$ ammette soltanto autovalori complessi coniugati, supponiamo che ${\displaystyle A}$ sia una matrice 2 per 2 e siano ${\displaystyle \alpha +j\omega }$ (${\displaystyle j}$ è l'unità immaginaria), ${\displaystyle \alpha -j\omega }$ i due autovalori complessi coniugati di ${\displaystyle A}$, e siano ${\displaystyle u_{a}+ju_{b}}$, ${\displaystyle u_{a}-ju_{b}}$ i due autovettori complessi coniugati corrispondenti. Allora, applicando la definizione di autovalore e di autovettore si ha la seguente equazione algebrica:

${\displaystyle (A-(\alpha +j\omega )I)((u_{a}+ju_{b})=0\ }$

dove ${\displaystyle I}$ è la matrice identica di dimensione 2, che si può scrivere separando parte reale e parte immaginaria nella forma:

${\displaystyle ((A-\alpha I)u_{a}+\omega u_{b})+j((A-\alpha I)u_{b}+\omega u_{a}))=0\ }$

Affinché l'equazione sia vera è necessario che parte reale e parte immaginaria si annullino entrambe pertanto si ha il sistema:

${\displaystyle {\begin{array}{c}(A-\alpha I)u_{a}+\omega u_{b}=0\\(A-\alpha I)u_{b}+\omega u_{a}=0\end{array}}\ }$

che può essere posto nella forma:

${\displaystyle A(u_{a}u_{b})=(u_{a}u_{b})\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)}$

Pertanto se si pone ${\displaystyle T^{-1}}$ uguale alla matrice le cui colonne sono la parte reale e immaginaria dei due autovettori complessi coniugati si ha che:

${\displaystyle TAT^{-1}=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)}$

Rappresentando il numero complesso ${\displaystyle u_{a}+ju_{b}}$ nel piano di Gauss se ${\displaystyle \lambda }$ è il modulo e ${\displaystyle \beta }$ l'argomento si ha:

${\displaystyle \alpha =\lambda \cos \beta }$ e ${\displaystyle \omega =\lambda \;\mathrm {sen} \,\beta }$

pertanto:

${\displaystyle A=T^{-1}\lambda \left({\begin{array}{cc}\cos \beta &\;\mathrm {sen} \,\beta \\-\;\mathrm {sen} \,\beta &\cos \beta \end{array}}\right)T}$

Si dimostra per induzione che:

${\displaystyle A^{n}=T^{-1}\lambda ^{n}\left({\begin{array}{cc}\cos n\beta &\;\mathrm {sen} \,n\beta \\-\;\mathrm {sen} \,n\beta &\cos n\beta \end{array}}\right)T}$

Pertanto la soluzione dell'equazione matriciale alle differenze è:

${\displaystyle x(n)=T^{-1}\lambda ^{n}\left({\begin{array}{cc}\cos n\beta &\;\mathrm {sen} \,n\beta \\-\;\mathrm {sen} \,n\beta &\cos n\beta \end{array}}\right)Tx(0)+\sum _{l=0}^{n-1}T^{-1}\lambda ^{n}\left({\begin{array}{cc}\cos(n-l-1)\beta &\;\mathrm {sen} (n-l-1)\beta \\-\;\mathrm {sen} (n-l-1)\beta &\cos(n-l-1)\beta \end{array}}\right)TBu(l)}$

Si supponga che la matrice ${\displaystyle A}$ di ordine n ammetta ${\displaystyle k}$ autovalori reali distinti ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k}}$ a cui corrispondono ${\displaystyle k}$ autovettori distinti ${\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{k}}$ allora si hanno le seguenti equazioni:

${\displaystyle {\begin{array}{c}Av_{1}=\lambda _{1}v_{1}\\Av_{2}=\lambda _{2}v_{2}\\...\\Av_{k}=\lambda _{k}v_{k}\end{array}}}$

Si supponga inoltre che la matrice ${\displaystyle A}$ ammetta ${\displaystyle p}$ coppie di autovalori complessi coniugati la cui p-esima coppia è:${\displaystyle \alpha _{p}+j\omega _{p}}$ e ${\displaystyle \alpha _{p}-j\omega _{p}}$ a cui corrisponde la coppia di autovettori complessi coniugati ${\displaystyle u_{a_{p}}+ju_{b_{p}}}$ e ${\displaystyle u_{a_{p}}-ju_{b_{p}}}$ allora per quanto visto nel caso precedente per la p-esima coppia, se ${\displaystyle \tau _{p}}$ è il modulo dell'autovalore p-esimo e ${\displaystyle \beta }$ il suo argomento si ha:

${\displaystyle A(u_{a_{p}}u_{b_{p}})=(u_{a_{p}}u_{b_{p}})\tau _{p}\left({\begin{array}{cc}\cos \beta _{p}&\;\mathrm {sen} \,\beta _{p}\\-\;\mathrm {sen} \,\beta _{p}&\cos \beta _{p}\end{array}}\right)}$

Ora posto ${\displaystyle T^{-1}}$ uguale alla matrice le cui colonne sono i ${\displaystyle k}$ autovettori corrispondenti agli autovalori reali e le parti reali e immaginarie delle ${\displaystyle p}$ coppie di autovettori complessi coniugati, cioè:

${\displaystyle T^{-1}=(v_{1},v_{2},...,v_{k},u_{a_{1}},u_{b_{1}},u_{a_{2}},u_{b_{2}},...,u_{a_{p}},u_{b_{p}})}$

allora dalle precedenti equazioni si ha la matrice diagonale a blocchi:

${\displaystyle TAT^{-1}={\mbox{diag}}\left(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k},\tau _{p}\left({\begin{array}{cc}\cos \beta _{1}&\;\mathrm {sen} \,\beta _{1}\\-\;\mathrm {sen} \,\beta _{1}&\cos \beta _{1}\end{array}}\right),...,\tau _{p}\left({\begin{array}{cc}\cos \beta _{p}&\;\mathrm {sen} \,\beta _{p}\\-\;\mathrm {sen} \,\beta _{p}&\cos \beta _{p}\end{array}}\right)\right)}$

pertanto:

${\displaystyle x_{l}(t)=T^{-1}{\mbox{diag}}\left(\lambda _{1}^{n},\lambda _{2}^{n},...,\lambda _{k}^{n},\tau _{p}^{n}\left({\begin{array}{cc}\cos n\beta _{1}&\;\mathrm {sen} \,n\beta _{1}\\-\;\mathrm {sen} \,n\beta _{1}&\cos n\beta _{1}\end{array}}\right),...,\tau _{p}^{n}\left({\begin{array}{cc}\cos n\beta _{p}&\;\mathrm {sen} \,n\beta _{p}\\-\;\mathrm {sen} \,n\beta _{p}&\cos n\beta _{p}\end{array}}\right)\right)Tx(0)}$

• E. Fornasini, G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi, Edizioni Libreria Progetto, Padova, 2003.
• A. Ruberti, S. Monaco, Teoria dei Sistemi - Appunti dalle lezioni, Pitagora Editrice, Bologna, 1998.
• O.M. Grasselli, Proprietà strutturali dei sistemi lineari e stazionari, Pitagora Editrice, Bologna, 1978

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