ケルビンの渦定理

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ケルビンの渦定理 (ケルビンのうずていり、英: Kelvin's circulation theorem) 、あるいは、ケルビンの循環定理（ケルビンのじゅんかんていり）とは、初代ケルヴィン男爵ウィリアム・トムソンによって導出された、流体力学における定理である。

定理

非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、流体とともに動く閉曲線に沿う循環は時間的に不変である[1]。

関係式

数式では

D Γ D t = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\mathit {\Gamma }}}{\mathrm {D} t}}=0}

と表現される。

ここで、物質微分 D / D t {\displaystyle \mathrm {D} /\mathrm {D} t} は流体と一緒に動く観測者から見た時間変化率、循環 Γ {\displaystyle {\it {\Gamma }}} は流体要素から成る(流体と一緒に動く)閉曲線 C ( t ) {\displaystyle C(t)} 上の流体の速度 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} の線積分

Γ ( t ) = ∮ C ( t ) v ⋅ d l {\displaystyle {\mathit {\Gamma }}(t)=\oint _{C(t)}{\boldsymbol {v}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}

を表す。

ケルビンの渦定理の証明

保存外力のもとでの非粘性バロトロピック流体の支配方程式はオイラー方程式 (流体力学)

D v D t = − ∇ ∫ d p ρ − ∇ Ω {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {D} t}}=-\nabla \int {\mathrm {d} p \over \rho }-\nabla \Omega }

で表される。ここで、 ρ {\displaystyle \rho } は密度、 p {\displaystyle p} は圧力、 Ω {\displaystyle \Omega } は外力のポテンシャルを表す。なお、バロトロピック性( ρ = ρ ( p ) {\displaystyle \rho =\rho (p)} )より

− 1 ρ ∇ p = − ∇ ∫ d p ρ {\displaystyle -{1 \over \rho }\nabla p=-\nabla \int {\mathrm {d} p \over \rho }}

となることを用いた。

循環の定義式の物質微分をとると

D Γ D t = ∮ C ( t ) D v D t ⋅ d l + ∮ C ( t ) v ⋅ D d l D t {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\it {\Gamma }}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C(t)}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}+\oint _{C(t)}{\boldsymbol {v}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}{\mathrm {D} t}}}

となる。 第1項に支配方程式を代入すると、

∮ C ( t ) D v D t ⋅ d l = − ∮ C ( t ) ∇ ( ∫ d p ρ + Ω ) ⋅ d l = − [ ∫ d p ρ + Ω ] C ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C(t)}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}&=-\oint _{C(t)}\nabla \left(\int {\mathrm {d} p \over \rho }+\Omega \right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}\\&=-\left[\int {\mathrm {d} p \over \rho }+\Omega \right]_{C(t)}\end{aligned}}}

また、第2項は

∮ C ( t ) v ⋅ D d l D t = ∮ C ( t ) v ⋅ d v = ∮ C ( t ) d ( | v | 2 2 ) = [ | v | 2 2 ] C ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C(t)}{\boldsymbol {v}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}{\mathrm {D} t}}&=\oint _{C(t)}{\boldsymbol {v}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {v}}\\&=\oint _{C(t)}\mathrm {d} \left({|{\boldsymbol {v}}|^{2} \over 2}\right)\\&=\left[{|{\boldsymbol {v}}|^{2} \over 2}\right]_{C(t)}\end{aligned}}}

となるので、

D Γ D t = [ | v | 2 2 − ∫ d p ρ − Ω ] C ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} {\it {\Gamma }}}{\mathrm {D} t}}&=\left[{|{\boldsymbol {v}}|^{2} \over 2}-\int {\mathrm {d} p \over \rho }-\Omega \right]_{C(t)}\end{aligned}}}

となる。ただし、 [ f ] C {\displaystyle [f]_{C}} は閉曲線 C {\displaystyle C} を一周したときの f {\displaystyle f} の差を表す。また、

D d l D t | r = D r ′ D t − D r D t ( r ′ − r = d l | r ) = v ( r ′ ) − v ( r ) = d v | r {\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}{\mathrm {D} t}}\right|_{\boldsymbol {r}}&={\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {r}}'}{\mathrm {D} t}}-{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {D} t}}&({\boldsymbol {r}}'-{\boldsymbol {r}}=\left.\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}\right|_{\boldsymbol {r}})\\&={\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}}')-{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})\\&=\left.\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}\right|_{\boldsymbol {r}}\end{aligned}}}

であることを用いた。

速度、圧力、密度、ポテンシャルは座標の連続一価関数であるので、

D Γ D t = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\it {\Gamma }}}{\mathrm {D} t}}=0}

が証明された。

脚注

  1. ^ 巽友正『流体力学』（1982年 4月15日初版発行）培風館。ISBN 456302421X。 

関連項目