数学 においてラプラスの方法 （らぷらすのほうほう、英 : Laplace's method ）とは、ピエール＝シモン・ラプラス にちなんだ積分
∫ a b e n f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx} の近似に用いられる方法。ここで f (x )連続微分可能 な関数、n は大きな数で、端点 a , b は有限でなくともよい。この方法は Laplace (1774) で初めて用いられた。
ラプラスの方法のアイディア 関数 f (x ) = sin(x )/x 0 において最大値をとる。被積分関数 e nf (x )n = 0.5n = 3n が大きくなるにつれて、被積分関数のガウス関数 （赤色）による近似がよくなる。この観察がラプラスの方法の背後にある。 関数 f (x )x 0 n に対して、次の関数を考える。
g ( x ) = n f ( x ) h ( x ) = e n f ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&=nf(x)\\h(x)&=e^{nf(x)}\end{aligned}}} 点 x 0 g と h も最大値をとることに注意する。また、このとき
g ( x 0 ) g ( x ) = n f ( x 0 ) n f ( x ) = f ( x 0 ) f ( x ) h ( x 0 ) h ( x ) = e n f ( x 0 ) e n f ( x ) = e n ( f ( x 0 ) − f ( x ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {g(x_{0})}{g(x)}}&={\frac {nf(x_{0})}{nf(x)}}={\frac {f(x_{0})}{f(x)}}\\{\frac {h(x_{0})}{h(x)}}&={\frac {e^{nf(x_{0})}}{e^{nf(x)}}}=e^{n(f(x_{0})-f(x))}\end{aligned}}} である。
数 n が大きくなるにつれて h の比は指数的に大きくなる一方で g の比は変化しない。したがって、関数の積分における支配的な寄与は点 x 0 近傍 における点 x のみから来るため近似ができる。
厳密な主張 f (x )[a , b ] 上の二回連続微分可能 な関数で、ある点 x 0 ∈ (a , b )
f ( x 0 ) = max a ≤ x ≤ b f ( x ) , f ″ ( x 0 ) < 0 {\displaystyle f(x_{0})=\max _{a\leq x\leq b}f(x),\quad f''(x_{0})<0} を満たすと仮定する。このとき
∫ a b e n f ( x ) d x ∼ e n f ( x 0 ) 2 π n | f ″ ( x 0 ) | ( n → ∞ ) {\displaystyle \int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx\sim e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n|f''(x_{0})|}}}\qquad (n\to \infty )} である[1] ∼ は両辺の比が n → ∞1 に収束することを意味する。）
他の定式化 ラプラスの方法は
∫ a b g ( x ) e n f ( x ) d x ∼ g ( x 0 ) e n f ( x 0 ) 2 π n | f ″ ( x 0 ) | ( n → ∞ ) {\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)e^{nf(x)}\,dx\sim g(x_{0})e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n|f''(x_{0})|}}}\qquad (n\to \infty )} と書かれることもある。
例：スターリングの公式 ラプラスの方法はスターリングの公式
n ! ∼ n n e − n 2 π n ( n → ∞ ) {\displaystyle n!\sim n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\quad (n\to \infty )} の導出に用いることができる。ガンマ関数 の定義から
n ! = Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t t n d t {\displaystyle n!=\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{n}\,dt} が得られる。変数変換 t = nx dt = ndx
n ! = ∫ 0 ∞ e − n x ( n x ) n n d x = n n + 1 ∫ 0 ∞ e − n x x n d x = n n + 1 ∫ 0 ∞ e − n x e n ln x d x = n n + 1 ∫ 0 ∞ e n ( ln x − x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}n!&=\int _{0}^{\infty }e^{-nx}(nx)^{n}n\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}x^{n}\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}e^{n\ln x}\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln x-x)}\,dx.\end{aligned}}} この積分はラプラスの方法が適用できる形である。いま f (x ) = ln x − x
f ′ ( x ) = 1 x − 1 , f ″ ( x ) = − 1 x 2 . {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}-1,\quad f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}.} よって関数 f (x )x 0 = 1f (x 0 ) = −1f ′′(x 0 ) = −1
n ! ∼ n n + 1 e − n 2 π n = n n e − n 2 π n ( n → ∞ ) {\displaystyle n!\sim n^{n+1}e^{-n}{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\quad (n\to \infty )} となる。
脚注 ^ Bell, Jordan (2014), Watson’s lemma and Laplace’s method , http://individual.utoronto.ca/jordanbell/notes/laplace.pdf 参考文献 Laplace, P. S. (1774), “Mémoires de Mathématique et de Physique, Tome Sixième”, Statistical Science 1 (3): 366–367, JSTOR 2245476, https://jstor.org/stable/2245476 関連項目 この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath 』の項目saddle point approximationの本文を含む
