Möbiusfunctie

De klassieke möbiusfunctie μ {\displaystyle \mu } is een belangrijke multiplicatieve functie in getaltheorie en combinatoriek. De functie is genoemd naar de Duitse wiskundige August Ferdinand Möbius (1790-1868), door wie deze functie werd geïntroduceerd in 1831.

Definitie

De möbiusfunctie μ ( n ) {\displaystyle \mu (n)} is gedefinieerd voor alle strikt positieve natuurlijke getallen n {\displaystyle n} en kan waardes aannemen in {−1, 0, 1} afhankelijk van de factorisatie van n {\displaystyle n} in priemfactoren. De functie is als volgt gedefinieerd:

  • μ ( n ) = 1 {\displaystyle \mu (n)=1} als n {\displaystyle n} een positief kwadraatvrij geheel getal is met een even aantal verschillende priemfactoren.
  • μ ( n ) = − 1 {\displaystyle \mu (n)=-1} als n {\displaystyle n} een positief kwadraatvrij geheel getal is met een oneven aantal verschillende priemfactoren.
  • μ ( n ) = 0 {\displaystyle \mu (n)=0} als n {\displaystyle n} niet kwadraatvrij is.

Dit impliceert dat

  • μ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \mu (1)=1} (0 priemfactoren, 1 telt zelf niet mee)
  • μ ( 2 ) = − 1 {\displaystyle \mu (2)=-1} (1 priemfactor: 2)
  • μ ( 3 ) = − 1 {\displaystyle \mu (3)=-1} (1 priemfactor: 3)
  • μ ( 4 ) = 0 {\displaystyle \mu (4)=0} (kwadraat)
  • μ ( 5 ) = − 1 {\displaystyle \mu (5)=-1} (1 priemfactor: 5)
  • μ ( 6 ) = 1 {\displaystyle \mu (6)=1} (2 priemfactoren: 2 en 3)
  • μ ( 7 ) = − 1 {\displaystyle \mu (7)=-1} (1 priemfactor: 7)
  • μ ( 8 ) = 0 {\displaystyle \mu (8)=0} (2x kwadraat, 2x4)
  • μ ( 9 ) = 0 {\displaystyle \mu (9)=0} (kwadraat)

De eerste 50 functiewaarden staan in deze grafiek:

Mobiusfunctie voor '"`UNIQ--postMath-00000014-QINU`"'
Mobiusfunctie voor n = 1 , … , 50 {\displaystyle n=1,\ldots ,50}