Grupa nilpotentna

Grupa nilpotentna – grupa „prawie” abelowa. Grupy nilpotentne pojawiają się w teorii Galois, a także w zagadnieniach związanych z klasyfikacją grup, również grup Liego.

Definicja

Grupę ${\displaystyle G}$ nazywamy nilpotentną, jeżeli istnieje ciąg podgrup normalnych ${\displaystyle \{e\}=G_{0}\leqslant G_{1}\leqslant G_{2}\ldots \leqslant G_{n}=G,}$ że:

1. ${\displaystyle G_{i}\triangleleft G,\;i=0,\dots ,n}$
2. grupy ilorazowe ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$ są podgrupami centrum ${\displaystyle Z(G/G_{i})}$ dla ${\displaystyle i=0,1,2,\dots ,n-1.}$

Jeśli istnieje ciąg o tej własności to nazywamy go ciągiem centralnym grupy ${\displaystyle G.}$ Najmniejsze ${\displaystyle n}$ dla którego grupa ${\displaystyle G}$ jest nilpotentna, nazywamy stopniem nilpotentności i oznaczamy ${\displaystyle \operatorname {nil} \;G.}$

Uwaga

Następujące warunki są równoważne:

1. Ciąg ${\displaystyle \{e\}=G_{0}\leqslant G_{1}\leqslant G_{2}\ldots \leqslant G_{n}=G}$ jest centralny.
2. Ciąg ${\displaystyle \{e\}=G_{0}\leqslant G_{1}\leqslant G_{2}\ldots \leqslant G_{n}=G}$ jest normalny oraz ${\displaystyle [G_{i+1},G]\leqslant G_{i},\;i=0,1,\dots ,n-1.}$
3. ${\displaystyle [G_{i+1},G]\leqslant G_{i},\;i=0,1,\dots ,n-1.}$

Przykłady

Grupą nilpotentną jest na przykład:

• dowolna grupa przemienna,
• grupa multiplikatywna macierzy postaci ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}},}$ gdzie ${\displaystyle a,b,c}$ są elementami pewnego ciała,
• grupa kwaternionów ${\displaystyle Q_{8},}$ ma centrum rzędu 2 ${\displaystyle (Z(Q_{8})=\{1,-1\});}$ ciąg centralny tej grupy to ${\displaystyle \{1\},\;\{1,-1\},Q_{8},}$ zatem jest to grupa nilpotentna drugiego stopnia nilpotentności,
• każdy produkt prosty skończonej liczby p-grup,
• dyskretna grupa Heisenberga.
• każda grupa ${\displaystyle G}$ rzędu ${\displaystyle p^{k},}$ gdzie ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą jest nilpotentna oraz ${\displaystyle \operatorname {nil} G\leqslant k.}$

Własności

• Każda grupa nilpotentna jest rozwiązalna.
• Jeżeli komutant grupy ${\displaystyle G}$ jest zawarty w jej centrum, to grupa jest nilpotentna.
• grupy permutacji ${\displaystyle S_{n}}$ nie są nilpotentne dla ${\displaystyle n>2.}$
• Każda podgrupa grupy nilpotentnej klasy ${\displaystyle n}$ jest grupą nilpotentną klasy co najwyżej ${\displaystyle n,}$ co więcej to samo dotyczy obrazu homomorficznego grupy nilpotentnej.
• Następujące zdania są równoważne dla grup skończonych:
  • ${\displaystyle G}$ jest nilpotentna.
  • Jeżeli ${\displaystyle H}$ jest właściwą podgrupą ${\displaystyle G,}$ to ${\displaystyle H}$ jest właściwą podgrupą normalną normalizatora ${\displaystyle N(H).}$
  • Każda maksymalna podgrupa właściwa ${\displaystyle G}$ jest normalna.
  • G jest sumą prostą swoich podgrup Sylowa.
• Ostatnie stwierdzenie może być uogólnione na grupy nieskończone: jeżeli ${\displaystyle G}$ jest nilpotentna, to każda podgrupa Sylowa ${\displaystyle G_{p}}$ grupy ${\displaystyle G}$ jest normalna, a suma prosta tych podgrup Sylowa jest podgrupą wszystkich elementów skończonego rzędu w ${\displaystyle G}$ (zob. podgrupa torsyjna).
• Jeśli grupa ${\displaystyle G/Z(G)}$ jest nilpotentna stopnia ${\displaystyle n,}$ to ${\displaystyle G}$ jest nilpotentna stopnia ${\displaystyle n+1.}$

Zobacz też

• grupa

Bibliografia

• Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup. Warszawa: Script, 2002. ISBN 83-904564-9-4. (pol.). Brak numerów stron w książce
• M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1978