Fibrado tangente

Informalmente, o fibrado tangente de uma variedade (neste caso um círculo) é obtido por considerar-se todos os espaços tangentes (em cima), e reuní-los de forma diferenciável e sem sobreposição (em baixo).[nota 1]

Em matemática, o fibrado tangente de uma variedade diferenciável M é a união disjunta[nota 1] de todos os espaços tangentes de M. Em símbolos,

T M = ⨆ p ∈ M T p M = ⋃ p ∈ M { p } × T p M . {\displaystyle TM=\bigsqcup _{p\in M}T_{p}M=\bigcup _{p\in M}\left\{p\right\}\times T_{p}M.}

onde T p M {\displaystyle T_{p}M} denota o espaço tangente de M {\displaystyle M} no ponto p ∈ M {\displaystyle p\in M} . Um elemento de T M {\displaystyle TM} pode ser pensado como um par ( p , v ) : p ∈ M ,   v ∈ T p M {\displaystyle (p,v):p\in M,~v\in T_{p}M} . Assim, existe uma projeção natural

π : T M → M , π ( p , v ) := p ∈ M . {\displaystyle \pi :TM\to M,\pi (p,v):=p\in M.}

Construção do Fibrado Tangente via classes de equivalências

Seja M n {\displaystyle M^{n}} uma variedade suave de dimensão n {\displaystyle n} . Fixe um altas maximal A {\displaystyle {\mathcal {A}}} em M {\displaystyle M} . Para cada p ∈ M {\displaystyle p\in M} , considere o conjunto I p := ⋃ U U × R n , φ : U → R n {\displaystyle I_{p}:=\bigcup _{U}U\times \mathbb {R} ^{n},\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}} , onde ( U , φ ) ⊂ A : p ∈ U {\displaystyle (U,\varphi )\subset {\mathcal {A}}:p\in U} . Introduzimos em I p {\displaystyle I_{p}} a seguinte relação de equivalência: sejam U , V {\displaystyle U,V} tais que p ∈ U ∩ V {\displaystyle p\in U\cap V} . Então, ( p , v ) ∼ ( p , w ) ⇔ d φ U ∘ ∘ φ V − 1 ( v ) = w {\displaystyle (p,v)\sim (p,w)\Leftrightarrow d\varphi _{U}\circ \circ \varphi _{V}^{-1}(v)=w} . O espaço das classes de equivalência por essa relação coincide com o espaço tangente a p ∈ M {\displaystyle p\in M} . Assim, o fibrado tangente associado a M {\displaystyle M} é obtido como espaço das classes da relação definida em ⋃ p I p {\displaystyle \bigcup _{p}I_{p}} por: ( U , p , v ) ∼ ( V , q , w ) ⇔ p = q , d φ U ∘ φ V − 1 ( v ) = w . {\displaystyle (U,p,v)\sim (V,q,w)\Leftrightarrow p=q,d\varphi _{U}\circ \varphi _{V}^{-1}(v)=w.}

Notas

  1. ↑ a b A união disjunta garante que para quaisquer dois pontos x1 e x2 da variedade M os espaços tangentes T1 e T2 não têm vetores em comum. Isso é ilustrado graficamente na imagem para o fibrado tangente da circunferência S1: todas as tangentes à circunferência estão no plano da circunferência. Para torná-las disjuntas, é preciso alinhá-las em um plano perpendicular.

Referências

  • John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95495-3.
  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-42627-2
  • Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London. ISBN 0-8053-0102-X
  • M. De León, E. Merino, J.A. Oubiña, M. Salgado, A characterization of tangent and stable tangent bundles, Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, Vol. 61, no. 1, 1994, 1-15 [1]

Ligações externas

  • «Tangent Bundle» (em inglês). - MathWorld 
  • «Tangent Bundle» (em inglês). - PlanetMath 
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