Operador linear limitado

Em matemática e, em especial, em análise funcional um operador linear limitado é uma transformação linear T : X ⟶ Y {\displaystyle T:X\longrightarrow Y} entre espaços vetoriais topológicos X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} que aplica subconjuntos limitados de X {\displaystyle X} em subconjuntos limitados de Y {\displaystyle Y} . Em particular, se X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} são espaços normados, então T {\displaystyle T} é limitado se, e somente se, existe M > 0 {\displaystyle M>0} tal que

‖ T x ‖ Y ≤ M ‖ x ‖ X ,   ∀ x ∈ X . {\displaystyle \|Tx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X},\ \forall x\in X.}

Em espaços vetoriais normados

Seja T : X → Y {\displaystyle T:X\to Y\,} uma transformação linear entre espaços normados X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} . Então T {\displaystyle T} é um operador linear limitado se existe M > 0 {\displaystyle M>0} tal que

‖ T x ‖ Y ≤ M ‖ x ‖ X ,   ∀ x ∈ X . {\displaystyle \|Tx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X},\ \forall x\in X.}

Denotamos por L ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)} o espaço vetorial de todos os operadores lineares limitados de X {\displaystyle X} em Y {\displaystyle Y} . Define-se a norma de um operador linear limitado por

‖ T ‖ L ( X , Y ) := sup x ≠ 0 x ∈ X ‖ T x ‖ Y ‖ x ‖ X . {\displaystyle \|T\|_{{\mathcal {L}}(X,Y)}:=\sup _{\stackrel {x\in X}{x\neq 0}}{\frac {\|Tx\|_{Y}}{\|x\|_{X}}}.}

Pode-se provar que se T ∈ L ( X , Y ) {\displaystyle T\in {\mathcal {L}}(X,Y)} , então

‖ T ‖ L ( X , Y ) = sup ‖ x ‖ ≤ 10 x ∈ X ‖ T x ‖ Y = sup ‖ x ‖ = 1 x ∈ X ‖ T x ‖ Y . {\displaystyle \|T\|_{{\mathcal {L}}(X,Y)}=\sup _{\stackrel {x\in X}{\|x\|\leq 10}}\|Tx\|_{Y}=\sup _{\stackrel {x\in X}{\|x\|=1}}\|Tx\|_{Y}.}


Proposição[1] — Seja T : X ⟶ Y {\displaystyle T:X\longrightarrow Y} um operador linear entre espaços normados. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

  1. T {\displaystyle T} é limitada.
  2. T {\displaystyle T} é uniformemente contínuo.
  3. T {\displaystyle T} é contínuo na origem.
Prova

( 1 ⇒ 2 {\displaystyle 1\Rightarrow 2} ) Dado ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} , se x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} , então

‖ T x − T y ‖ Y = ‖ T ( x − y ) ‖ Y ≤ M ‖ x − y ‖ X . {\displaystyle \|Tx-Ty\|_{Y}=\|T(x-y)\|_{Y}\leq M\|x-y\|_{X}.}

Portanto, basta tomar δ < ε M {\displaystyle \delta <{\frac {\varepsilon }{M}}} que temos a continuidade uniforme.

( 2 ⇒ 3 {\displaystyle 2\Rightarrow 3} ) É óbvio.

( 3 ⇒ 1 {\displaystyle 3\Rightarrow 1} ) Como T {\displaystyle T} é contínuo na origem, existe δ > 0 {\displaystyle \delta >0} tal que

‖ T x ‖ Y < 1 , {\displaystyle \|Tx\|_{Y}<1,} sempre que ‖ x ‖ X < δ . {\displaystyle \|x\|_{X}<\delta .}

Com isso, dado x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} , tome y = x 2 ‖ x ‖ X δ {\displaystyle y={\frac {x}{2\|x\|_{X}}}\delta } . Assim, ‖ y ‖ X < δ / 2 {\displaystyle \|y\|_{X}<\delta /2} e consequentemente

‖ T y ‖ Y < 1 ⇒ ‖ T ( x 2 ‖ x ‖ X δ ) ‖ Y < 1 ⇒ δ 2 ‖ x ‖ X ‖ T x ‖ Y < 1. {\displaystyle \|Ty\|_{Y}<1\Rightarrow \left\|T\left({\frac {x}{2\|x\|_{X}}}\delta \right)\right\|_{Y}<1\Rightarrow {\frac {\delta }{2\|x\|_{X}}}\|Tx\|_{Y}<1.}

Donde, ‖ T x ‖ Y < 2 δ ‖ x ‖ X . {\displaystyle \|Tx\|_{Y}<{\frac {2}{\delta }}\|x\|_{X}.} Logo, T {\displaystyle T} satisfaz a definição de limitado com a constante M = 2 / δ . {\displaystyle M=2/\delta .}

Por causa deste resultado, usamos a nomenclatura operador linear limitado e operador linear contínuo indistintamente.

Propriedades

  • Se X {\displaystyle X} é um espaço normado e Y {\displaystyle Y} é um espaço de Banach, então L ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)} também é um espaço de Banach.
  • L ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X,\mathbb {R} )} é chamado de dual topológico de X {\displaystyle X} e é denotado simplesmente por X ∗ . {\displaystyle X^{\ast }.} [nota 1]
  • Dados x ∗ ∈ X ∗ {\displaystyle x^{\ast }\in X^{\ast }} e x ∈ X {\displaystyle x\in X} , constuma-se usar a notação ⟨ x ∗ , x ⟩ X ∗ , X {\displaystyle \langle x^{\ast },x\rangle _{X^{\ast },X}} , ou simplesmente ⟨ x ∗ , x ⟩ {\displaystyle \langle x^{\ast },x\rangle } , ao invés de x ∗ ( x ) {\displaystyle x^{\ast }(x)} .
  • Se X {\displaystyle X\,} é um espaço de dimensão finita, então todo operador linear é limitado
  • Se X {\displaystyle X\,} é um espaço de dimensão infinita, então o axioma da escolha garante a existência de operadores lineares não limitados definidos em todo o espaço.
  • Todo operador linear limitado é fechado.


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Notas

  1. ↑ Alguns textos usam a notação X ′ {\displaystyle X'} para o dual topológico ao invés de X ∗ {\displaystyle X^{\ast }} .

Referências

  1. ↑ Biezuner 2009, p. 12.

Bibliografia

  • Biezuner, Rodney Josué (2009). Notas de Aula Análise Funcional (PDF). [S.l.: s.n.] 
  • Brézis, Haïm (2010). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-387-70914-7. doi:10.1007/978-0-387-70914-7 
  • Kesavan, Srinivasan (2015). Topics in Functional Analysis and Applications second ed. [S.l.]: New Age International Publishers. ISBN 978-81-224-3797-3 
  • Kreyszig, Erwin (1989). Introductory functional analysis with applications. New York: Wiley. ISBN 978-0471504597