Concoidă

Concoida lui Nicomedes. Punctul fix O este punctul roșu, linia neagră este curba dată și fiecare pereche de curbe colorate este lungimea d de la intersecția cu linia pe care o face o rază în O. În cazul liniei albastre, d este mai mare decât distanța lui O față de linie, deci curba albastră superioară se arcuiește înapoi. În cazul liniei verzi, d este același, iar în cazul curbei roșii este mai mică.
Concoida lui Nicomedes desenată de un aparat, ilustrată în Comentariile lui Eutociu despre lucrările lui Arhimede

O concoidă este o curbă derivată dintr-un punct fix O, o altă curbă și o lungime d. A fost inventată de matematicianul grec Nicomedes⁠(d).[1]

Descriere

Pentru fiecare linie prin O care intersectează curba dată în A, cele două puncte de pe linie care sunt d din A sunt pe concoidă. Concoida este, prin urmare, cisoida curbei date și un cerc de rază d și centru O. Este numită concoidă, deoarece forma ramurilor exterioare seamănă cu o concă (ghioc).

Cea mai simplă expresie folosește coordonate polare cu O la origine. Dacă

r = α ( θ ) {\displaystyle r=\alpha (\theta )}

exprimă curba dată, atunci

r = α ( θ ) ± d {\displaystyle r=\alpha (\theta )\pm d}

exprimă concoida.

Dacă curba este o dreaptă, atunci concoida este concoida lui Nicomedes .

De exemplu, dacă curba este dreapta x = a {\displaystyle x=a} , atunci forma polară a liniei este r = a sec ⁡ θ {\displaystyle r=a\sec \theta } și, prin urmare, concoida poate fi exprimată parametric ca

x = a ± d cos ⁡ θ , y = a tan ⁡ θ ± d sin ⁡ θ . {\displaystyle x=a\pm d\cos \theta ,\,y=a\tan \theta \pm d\sin \theta .}

Un limaçon este o concoidă cu un cerc definit ca o curbă dată.

Așa numitele concoide a lui de Sluze și a lui Dürer nu sunt de fapt concoide. Prima este o cisoidă strictă, iar cel de-al doilea este o construcție încă mai generală.

Note

  1. ^ Wikisource Chisholm, Hugh, ed. (). „Conchoid”. Encyclopædia Britannica. 6 (ed. 11). Cambridge University Press. pp. 826–827. 

Bibliografie

  • J. Dennis Lawrence (). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 36, 49–51, 113, 137. ISBN 0-486-60288-5. 

Vezi și

Legături externe

Materiale media legate de concoidă la Wikimedia Commons