Independență algebrică

În algebra abstractă o submulțime ${\displaystyle S}$ a unui corp ${\displaystyle L}$ independentă algebric peste un subcorp dacă elementele din ${\displaystyle S}$ nu satisfac nicio ecuație polinomială netrivială cu coeficienți în ${\displaystyle K}$.

În particular, un element ${\displaystyle \{\alpha \}}$ al unei mulțimi este independent algebric peste ${\displaystyle K}$ dacă și numai dacă ${\displaystyle \alpha }$ este transcendent peste ${\displaystyle K}$. În general, toate elementele unei mulțimi independente algebric ${\displaystyle S}$ peste ${\displaystyle K}$ sunt necesar transcendente peste ${\displaystyle K}$ și peste toate extinderile peste ${\displaystyle K}$ generate de restul elementelor lui ${\displaystyle S}$.

Exemplu

Cele două numere reale ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ și ${\displaystyle 2\pi +1}$ sunt fiecare numere transcendente: ele nu sunt rădăcinile vreunui polinom netrivial cu coeficienți raționali. Prin urmare, fiecare din cele două singletoane ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }}\}}$ și ${\displaystyle \{2\pi +1\}}$ sunt independente algebric peste corpul numerelor raționale ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

În orice caz, mulțimea ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$ nu este independentă algebric peste numerele raționale deoarece polinomul netrivial

${\displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}$

este zero pentru ${\displaystyle x={\sqrt {\pi }}}$ și ${\displaystyle y=2\pi +1}$.

Independența algebrică a unor constante

Deși se știe că ambele ${\displaystyle \pi }$ și e sunt transcendente, nu se știe dacă mulțimea formată din ele este independentă algebric peste ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[1] De fapt nu se știe nici măcar dacă ${\displaystyle \pi +e}$ este irațional.^[2] Nesterenko a demonstrat în 1996 că:

• numerele ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle e^{\pi }}$ și Γ(1/4) sunt independente algebric peste ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[3]
• numerele ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {3}}}}$ și Γ(1/3) sunt independente algebric peste ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• pentru toți întregii pozitivi ${\displaystyle n}$, numerele ${\displaystyle \pi }$ și ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ sunt independente algebric peste ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[4]

Teorema Lindemann–Weierstrass

Teorema Lindemann–Weierstrass^⁠(d) poate fi folosită adesea pentru a demonstra că unele mulțimi sunt independente algebric peste ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ Se afirmă că ori de câte ori ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ sunt numere algebrice acestea sunt independente liniar^⁠(d) peste ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ca urmare ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$ sunt și ele independente algebric peste ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Matroizi algebrici

Fiind dată o extindere de corp ${\displaystyle L/K}$ care nu este algebrică, Lema lui Zorn poate fi utilizată pentru a arăta că există întotdeauna o submulțime maximă independentă algebric a ${\displaystyle L}$ peste ${\displaystyle K}$. Mai mult, toate submulțimile maxime independente algebric au aceeași cardinalitate, cunoscută sub numele de grad de transcendență al extinderii.

Pentru orice mulțime ${\displaystyle S}$ de elemente ale ${\displaystyle L}$, submulțimile independente algebric din ${\displaystyle S}$ satisfac axiomele care definesc mulțimile independente ale unui matroid^⁠(d). În acest matroid, rangul unei mulțimi este gradul său de transcendență, iar subspațiul generat de mulțimea ${\displaystyle T}$ de elemente este intersecția lui ${\displaystyle L}$ cu corpul ${\displaystyle K[T]}$. Un matroid care poate fi generat în acest mod se numește matroid algebric. Nu există o caracterizare bună a matroizilor algebrici, dar se știe că unii matroizi nu sunt algebrici; cel mai mic este matroidul Vámos.^[5]

Mulți matroizi finiți pot fi reprezentați^⁠(d) printr-o matrice peste corpul ${\displaystyle K}$, în care elementele matroidului corespund coloanelor matricii, iar mulțimea elementelor este independentă dacă mulțimea corespunzătoare a coloanelor este independentă liniar. Orice matroid cu o reprezentare liniară de acest tip poate fi reprezentat și ca un matroid algebric, prin alegerea unei nedeterminate pe fiecare rând al matricii, și folosirea coeficienților matricii în fiecare coloană pentru a atribui fiecărui element al matroidului o combinație liniară a acestor transcendente. Inversa este falsă: nu orice matroid algebric are o reprezentare liniară.^[6]

Note

Legături externe

Portal Matematică

• en Chen, Johnny, Algebraically Independent la MathWorld.