Möbiusfunktionen

Möbiusfunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion definierad enligt:

${\displaystyle \mu (n)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{om }}p^{2}|n{\mbox{ där }}p{\mbox{ är ett primtal}}\\1&{\mbox{om }}n=1\\(-1)^{k}&{\mbox{om }}n{\mbox{ är en produkt av }}k{\mbox{ distinkta primtal}}\end{matrix}}\right.}$

Om man summerar möbiusfunktionen får man Mertensfunktionen.

Funktionen är uppkallad efter den tyske matematikern August Ferdinand Möbius.

Egenskaper

• För alla ${\displaystyle n\geq 2}$ gäller

${\displaystyle \sum \limits _{d|n}\mu (d)=0.}$

• Möbiusfunktionen kan beräknas med hjälp av formeln

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {k}{n}}}.}$

• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1}$

• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)}{k}}=0}$

• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1}$

Genererande funktioner

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{2}(n)}{n^{s}}}}$

Se även

• Aritmetisk funktion

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Möbiusfunktionen.
  Bilder & media