Matrisnorm

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Inom matematik är en matrisnorm en naturlig förlängning av vektorrnormen för matriser.

Egenskaper

En matrisnorm har samma egenskaper som en vektornorm, och följande gäller då för en matrisnorm i rummet ${\displaystyle K_{m,n}}$, då ${\displaystyle K}$ är en kropp, till exempel de reella eller komplexa talen. ${\displaystyle A}$ och ${\displaystyle B}$ är matriser i ${\displaystyle K_{m,n}}$:

• ${\displaystyle \|A\|\geq 0}$ med likhet om och endast om ${\displaystyle A=0}$
• ${\displaystyle \|\alpha A\|=|\alpha |\|A\|}$ för alla ${\displaystyle \alpha \in K}$
• ${\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|}$

För kvadratiska matriser uppfyller vissa, men inte alla, matrisnormer

${\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}$

ett rum av reella eller komplexa kvadratiska matriser med en norm som uppfyller detta bildar en Banachalgebra.

Inducerade normer

Om normer för ${\displaystyle K^{m}}$ och ${\displaystyle K^{n}}$ är givna (då ${\displaystyle K}$ är någon kropp, exempelvis de reella eller komplexa talen), kan man definiera en inducerad norm (en så kallad operatornorm) på rummet av alla matriser med format m × n med:

${\displaystyle \|A\|=\max\{\|Ax\|:x\in K^{n},\|x\|\leq 1\}=\max\{\|Ax\|:x\in K^{n},\|x\|=1\}=\max\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n},\|x\|\neq 0\}}$

Om vektornormen är en p-norm blir då matrisnormen:

${\displaystyle \|A\|_{p}=\max _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}}$

Om ${\displaystyle p=1}$ eller ${\displaystyle p=\infty }$ kan normen beräknas som:

${\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|}$, dvs den största kolumnsumman (av elementens belopp)

${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|}$, den största radsumman.

Om ${\displaystyle p=2}$ och ${\displaystyle m=n}$ kallas den inducerade matrisnormen för spektralnormen och är lika med matrisens största singulärvärde eller den roten ur det största egenvärdet till den positivt definita matrisen ${\displaystyle A^{*}A}$:

${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\lambda _{max}(A^{*}A)}}}$,

där ${\displaystyle A^{*}}$ är det hermiteska konjugatet till ${\displaystyle A}$.

Elementvisa normer

För matriser i ${\displaystyle K_{m,n}}$:

Frobeniusnormen

Frobeniusnormen är i princip en förlängning av den vanliga euklidiska normen för vektorer:

${\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {tr} {(A^{*}A)}}}}$

Där tr är matrisspåret och ${\displaystyle A^{*}}$ betecknar ${\displaystyle A}$:s hermiteska konjugat.

P-normen

En generalisering av Frobeniusnormen är p-normen:

${\displaystyle \|A\|_{p}=(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p})^{1/p}}$

Maximalnormen

Maximalnormen är det till beloppet största talet i matrisen:

${\displaystyle \|A\|_{max}=\operatorname {max} {|a_{ij}|}}$.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Matrisnorm.
  Bilder & media

v • r Linjär algebra Grundläggande begrepp Skalär · Vektor · Noll · Ortogonalitet · Ekvationssystem · Rum · Linjärkombination · Inre produkt · Oberoende · Bas · Radrum · Kolonnrum · Nollrum · Gram-Schimdt · Egenvärde · Hölje · Linjäritet Vektoralgebra Kryssprodukt · Trippelprodukt Matriser Elementär · Block · Enhet · Determinant · Norm · Rang · Transformation · Rotation · Invers · Cramers regel · Trappstegsform · Spår · Transponat · Gausselimination · Symmetri · Addition Multilinjär algebra Geometrisk algebra · Yttre algebra · Bivektor · Multivektor · Tensor Konstruktioner Delrum · Dualrum · Funktionsrum · Kvotrum · Tensorprodukt Numerik Flyttal · Gles matris Kategori