4-швидкість

У фізиці, зокрема в спеціальній і загальній теоріях відносності, 4-швидкість (або чотиришвидкість) — 4-вектор у чотиривимірному просторі-часі[nb 1], релятивістський аналог швидкості, яка є тривимірним вектором у просторі.

Фізичні події відповідають математичним точкам у часі та просторі, сукупність яких разом утворює математичну модель фізичного чотиривимірного простору-часу. Історія об'єкта відстежує криву в просторі-часі, називану його світовою лінією. Якщо об'єкт має масу[en], а отже його швидкість обов'язково менша за швидкість світла, світову лінію можна параметризувати власним часом об'єкта. 4-швидкість — це швидкість зміни 4-положення відносно власного часу вздовж кривої. Швидкість, навпаки, — це швидкість зміни положення об'єкта в (тривимірному) просторі, як його бачить спостерігач, відносно часу спостерігача.

Величина 4-швидкості об'єкта, тобто величина, отримана застосуванням метричного тензора g до 4-швидкості U, тобто ‖ U ‖ 2 = U ⋅ U = g μ γ U γ U μ {\displaystyle \lVert {\mathbf {U}}\rVert ^{2}={\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}}=g_{\mu \gamma }U^{\gamma }U^{\mu }} , завжди дорівнює ±c2, де c — швидкість світла. Застосування знака плюс чи мінус залежить від вибору метричної сигнатури. Для нерухомого об'єкта його 4-швидкість паралельна напрямку координати часу з U0 = c. Отже, 4-швидкість — нормалізований напрямлений у майбутнє часоподібний дотичний вектор до світової лінії та є контраваріантний вектор. Хоча це вектор, додавання двох 4-швидкостей не дає 4-швидкості: простір 4-швидкостей сам по собі не є векторним простором[nb 2].

Швидкість

Шлях об'єкта в тривимірному просторі (в інерційній системі відліку) можна виразити через три функції просторової координати xi(t) від часу t, де i — індекс, який набуває значень 1, 2, 3.

Три координати утворюють тривимірний радіус-вектор, який можна записати як вектор-стовпець

x → ( t ) = [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) x 3 ( t ) ] . {\displaystyle {\vec {x}}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\[0.7ex]x^{2}(t)\\[0.7ex]x^{3}(t)\end{bmatrix}}\,.}
Складові швидкості u → {\displaystyle {\vec {u}}} (дотичної до кривої) в будь-якій точці світової лінії дорівнюють
u → = [ u 1 u 2 u 3 ] = d x → d t = [ d x 1 d t d x 2 d t d x 3 d t ] . {\displaystyle {\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.}
Кожна складова записується просто
u i = d x i d t {\displaystyle u^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}}

Теорія відносності

У теорії відносності Ейнштейна шлях об'єкта, що рухається відносно певної системи відліку, визначають чотири функції координат xμ(τ), де μ — індекс простору-часу, який має значення 0 для часоподібної складової, та 1, 2, 3 для простороподібних координат. Нульова складова визначається як часова координата, помножена на c,

x 0 = c t , {\displaystyle x^{0}=ct\,,}
Кожна функція залежить від одного параметра τ, який називають її власним часом. Як вектор-стовпець:
x = [ x 0 ( τ ) x 1 ( τ ) x 2 ( τ ) x 3 ( τ ) ] . {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}\,.}

Уповільнення часу

З уповільненням часу диференціали координатного часу[en] t і власного часу τ пов'язані між собою

d t = γ ( u ) d τ {\displaystyle dt=\gamma (u)d\tau }
де фактор Лоренца ,
γ ( u ) = 1 1 − u 2 c 2 , {\displaystyle \gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\,,}
є функцією евклідової норми u тривимірного вектора швидкості u → {\displaystyle {\vec {u}}} :
u = ‖   u →   ‖ = ( u 1 ) 2 + ( u 2 ) 2 + ( u 3 ) 2 . {\displaystyle u=\left\|\ {\vec {u}}\ \right\|={\sqrt {\left(u^{1}\right)^{2}+\left(u^{2}\right)^{2}+\left(u^{3}\right)^{2}}}\,.}

Визначення 4-швидкості

4-швидкість — 4-вектор, дотичний до часоподібної[en] світової лінії. 4-швидкість U {\displaystyle \mathbf {U} } в будь-якій точці світової лінії X ( τ ) {\displaystyle \mathbf {X} (\tau )} визначається як:

U = d X d τ {\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}}
де X {\displaystyle \mathbf {X} }  — 4-положення, τ {\displaystyle \tau }  — власнний час[1].

4-швидкість, визначена тут за допомогою власного часу об'єкта, не існує для світових ліній безмасових об'єктів, таких як фотони, що рухаються зі швидкістю світла; також її не визначено для тахіонних світових ліній, де дотичний вектор простороподібний.

Складові 4-швидкості

Зв'язок між часом t і часовою координатою x0 визначається формулою

x 0 = c t . {\displaystyle x^{0}=ct.}
Взявши похідну від за власним часом τ, знаходимо складову швидкості Uμ для μ = 0:
U 0 = d x 0 d τ = d ( c t ) d τ = c d t d τ = c γ ( u ) {\displaystyle U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {d(ct)}{d\tau }}=c{\frac {dt}{d\tau }}=c\gamma (u)}
і для інших 3 складових за власним часом отримуємо складові швидкості Uμ для μ = 1, 2, 3:
U i = d x i d τ = d x i d t d t d τ = d x i d t γ ( u ) = γ ( u ) u i {\displaystyle U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}\gamma (u)=\gamma (u)u^{i}}
де ми використали правило диференціювання складеної функції та зв'язки
u i = d x i d t , d t d τ = γ ( u ) {\displaystyle u^{i}={dx^{i} \over dt}\,,\quad {\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (u)}
Таким чином, знаходимо для 4-швидкості U {\displaystyle \mathbf {U} } :
U = γ [ c u → ] . {\displaystyle \mathbf {U} =\gamma {\begin{bmatrix}c\\{\vec {u}}\\\end{bmatrix}}.}
У стандартній 4-векторній нотації це:
U = γ ( c , u → ) = ( γ c , γ u → ) {\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\vec {u}}\right)}
де γ c {\displaystyle \gamma c}  — часова складова, γ u → {\displaystyle \gamma {\vec {u}}}  — просторова складова.

З точки зору синхронізованих годинників і лінійок, пов'язаних із певною ділянкою плоского простору-часу, три простороподібні складові 4-швидкості визначають власну швидкість[en] рухомого об'єкта γ u → = d x → / d τ {\displaystyle \gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau } , тобто швидкість, з якою відстань долається в еталонній системі відліку за одиницю власного часу, що минув на годиннику, який рухається з об'єктом.

На відміну від більшості інших 4-векторів, 4-швидкість має не 4, а лише 3 незалежні складові u x , u y , u z {\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}} . Коефіцієнт γ {\displaystyle \gamma } є функцією тривимірної швидкості u → {\displaystyle {\vec {u}}} .

Коли деякий скаляр Лоренца[en] помножити на 4-швидкість, то отримаємо новий фізичний 4-вектор, який має 4 незалежні складові.

Наприклад:

P = m 0 U = γ m 0 ( c , u → ) = m ( c , u → ) = ( m c , m u → ) = ( m c , p → ) = ( E c , p → ) , {\displaystyle {\mathbf {P}}=m_{0}{\mathbf {U}}=\gamma m_{0}\left(c,{\vec {u}}\right)=m\left(c,{\vec {u}}\right)=\left(mc,m{\vec {u}}\right)=\left(mc,{\vec {p}}\right)=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right),}
де m o {\displaystyle m_{o}} — маса спокою
J = ρ 0 U = γ ρ 0 ( c , u → ) = ρ ( c , u → ) = ( ρ c , ρ u → ) = ( ρ c , j → ) {\displaystyle {\mathbf {J}}=\rho _{0}{\mathbf {U}}=\gamma \rho _{0}\left(c,{\vec {u}}\right)=\rho \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {u}}\right)=\left(\rho c,{\vec {j}}\right)}

Фактично, коефіцієнт γ {\displaystyle \gamma } поєднується зі скалярним членом Лоренца і утворює 4-ту незалежну складову

m = γ m o {\displaystyle m=\gamma m_{o}}
і
ρ = γ ρ o . {\displaystyle \rho =\gamma \rho _{o}.}

Величина

Використовуючи диференціал 4-положення в системі спокою, за допомогою метрики Мінковського зі сигнатурою (−, +, +, +) можна отримати величину 4-швидкості:

‖ U ‖ 2 = η μ ν U μ U ν = η μ ν d X μ d τ d X ν d τ = − c 2 , {\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=\eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\eta _{\mu \nu }{\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX^{\nu }}{d\tau }}=-c^{2}\,,}
Коротше кажучи, величина 4-швидкості будь-якого об'єкта завжди є фіксованою сталою:
‖ U ‖ 2 = − c 2 {\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=-c^{2}}
У рухомій системі відліку така сама норма:
‖ U ‖ 2 = γ ( u ) 2 ( − c 2 + u → ⋅ u → ) , {\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),}
так що:
− c 2 = γ ( u ) 2 ( − c 2 + u → ⋅ u → ) , {\displaystyle -c^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),}
що зводиться до визначення фактора Лоренца.

Див. також

  • Портал «Фізика»

Виноски

Коментарі
  1. ↑ Технічно чотиривектор слід розглядати як такий, що міститься в дотичному просторі точки простору-часу, а сам простір-час моделюється як гладкий многовид. Ця особливість важлива в загальній теорії відносності.
  2. ↑ Множина чотиришвидкостей є підмножиною дотичного простору (який є векторним простором) у події. Назва чотиривектор випливає з поведінки під час перетворень Лоренца, а саме під яким конкретним представленням вони перетворюються.
Примітки
  1. ↑ McComb, W. D. (1999). Dynamics and relativity. Oxford [etc.]: Oxford University Press. с. 230. ISBN 0-19-850112-9.

Література

  • Einstein, Albert (1920). Relativity: The Special and General Theory. New York: Original: Henry Holt, 1920; Reprinted: Prometheus Books, 1995.
  • Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.