Trong toán học, một chuỗi lũy thừa hình thức là một sự khái quát của đa thức, trong đó số các số hạng có thể là vô hạn mà không có yêu cầu nào về sự hội tụ.
Vành các chuỗi lũy thừa hình thức
Vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biến X với hệ số trong vành giao hoán R được ký hiệu là
.
Cấu trúc vành
Một phần tử của
có thể được coi như một phần tử của
. Ta định nghĩa phép cộng
![{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8882d109f1428f6376081379a696c01af48b1054)
và phép nhân
![{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{\!n\in \mathbb {N} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b5a7d7fb7d85a32a141910b10eb876fbc07831)
Phép nhân này khác với phép nhân từng số hạng. Nó được gọi là tích Cauchy của hai chuỗi hệ số, và là một loại tích chập rời rạc. Với các phép toán này,
trở thành một vành giao hoán với phần tử không
và đơn vị
.
Cấu trúc tô pô
Theo qui ước
![{\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072e4a28fab46384d7c3406df0c54b1985a04075)
một cấu trúc tô-pô trên vành các chuỗi lũy thừa hình thức được xác định bởi một cấu trúc tô-pô trên
. Có nhiều định nghĩa tương đương.
- Chúng ta có thể gán cho
tô pô tích, với mỗi bản sao của
mang tô pô rời rạc. - Ta cũng có thể gán cho nó tô-pô cảm sinh từ metric sau. Khoảng cách hai chuỗi phân biệt
được định nghĩa là
![{\displaystyle d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8b4e845443184939549b7ffaefb60f916732a7)
- với
là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho
.
Ví dụ
Lưu ý rằng trong
giới hạn
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {X}{n}}\right)^{\!n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0010a02c8c1db6e375f20015712e197f5acbcd9d)
không tồn tại, vì vậy, nó không hội tụ tới
![{\displaystyle \exp(X)\ =\ \sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {X^{n}}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/125ccc59edfc122f03bc2e4ef9977668ea49e019)
Các phép toán khác
Lũy thừa
Với một số tự nhiên n ta có
![{\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}\right)^{\!n}=\,\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}X^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83fb7b5c2f7106d7da44e837d0d487f74fb93266)
trong đó
![{\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=a_{0}^{n},\\c_{m}&={\frac {1}{ma_{0}}}\sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)a_{k}c_{m-k},\ \ \ m\geq 1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13bd6c326f9359cd701df87d897bf05e5c3d3a19)
Nghịch đảo
Chuỗi
![{\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12cbec0d8af726df2beec6d063ac601f800afc97)
là khả nghịch trong
hệ số hằng
là khả nghịch. Chuỗi nghịch đảo
có thể được tính qua công thức đệ quy tường minh
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\ \ \ n\geq 1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9bde90cbbce2102910885ce2c343865386ad6bc)
Một trường hợp đặc biệt là công thức chuỗi cấp số nhân được thỏa mãn trong
:
![{\displaystyle (1-X)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bcc6105a46e1c9f400f22bc23a86d268f8714b0)
Hợp
Cho hai chuỗi lũy thừa hình thức
![{\displaystyle f(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33eea10b51903a5fd349997572e1ac609db0434)
![{\displaystyle g(X)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}+\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1171b0d2b2b2d8a277dd736cc712191a217d683b)
ta có thể định nghĩa phép hợp
![{\displaystyle g(f(X))=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(f(X))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c1ee0d27a8e14d0a9d9176b5083904cf6a0dc5)
với
![{\displaystyle c_{n}:=\sum _{k\in \mathbb {N} ,|j|=n}b_{k}a_{j_{1}}a_{j_{2}}\cdots a_{j_{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd5adc32b49eac1f10afa49c8a08fa284bc75e95)
Tổng này được lấy trên tất cả các cặp (k,j) với
và
sao cho
Đạo hàm hình thức
Cho một chuỗi lũy thừa hình thức
![{\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8f977d0e0948457a651e68daaf51628e4cdf21)
ta có thể xác định đạo hàm hình thức của nó, ký hiệu là Df hoặc f' , bởi
![{\displaystyle Df=f'=\sum _{n\geq 1}a_{n}nX^{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a351084703507c68f7b1aaaa9d7d84217f28559)
Tính chất
Tính chất đại số của vành các chuỗi lũy thừa hình thức
Tính chất tô pô
Không gian metric
là hoàn chỉnh
Vành
là compact khi và chỉ khi R là hữu hạn.
Tham khảo
- Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Noncommutative rational series with applications. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 137. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007.
- Nicolas Bourbaki: Đại số, IV, §4. Springer-Verlag 1988.
Đọc thêm
- W. Kuich. Springer, Berlin, 1997, ISBN 3-540-60420-0
- Droste, M., & Kuich, W. (2009). doi:10.1007/978-3-642-01492-5_1