費雪z分佈

Fisher's z
概率密度函數
参数 d 1 > 0 ,   d 2 > 0 {\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0} deg. of freedom
值域 x ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}
概率密度函数 2 d 1 d 1 / 2 d 2 d 2 / 2 B ( d 1 / 2 , d 2 / 2 ) e d 1 x ( d 1 e 2 x + d 2 ) ( d 1 + d 2 ) / 2 {\displaystyle {\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{\left(d_{1}+d_{2}\right)/2}}}\!}
眾數 0 {\displaystyle 0}
Ronald Fisher

費雪z分佈是F分布隨機變數的自然對數0.5倍拉伸量的機率分布：

z = 1 2 ln ⁡ F {\displaystyle z={\frac {1}{2}}\ln F}

首次由羅納德·愛爾默·費雪於1924年在多倫多舉辦的國際數學家大會的投稿文章所描述。[1]現今則經常以F分布取代之。

費雪z分佈的機率密度函數與累積分布函數可由F分布於 x ′ = e 2 x {\displaystyle x'=e^{2x}} 求得。然而，其平均數與變異數並不能以相同轉換方式求得。

該機率密度函數為[2][3]

f ( x ; d 1 , d 2 ) = 2 d 1 d 1 / 2 d 2 d 2 / 2 B ( d 1 / 2 , d 2 / 2 ) e d 1 x ( d 1 e 2 x + d 2 ) ( d 1 + d 2 ) / 2 {\displaystyle f(x;d_{1},d_{2})={\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{(d_{1}+d_{2})/2}}}}

其中B為Β函數。

當自由度很大（ d 1 , d 2 → ∞ {\displaystyle d_{1},d_{2}\rightarrow \infty } ）時，該分布逼近期望值為 x ¯ = 1 2 ( 1 d 2 − 1 d 1 ) {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{2}}}-{\frac {1}{d_{1}}}\right)} 且變異數為 σ x 2 = 1 2 ( 1 d 1 + 1 d 2 ) {\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}\right)} 的常態分布。[2]

相關分布

  • 若 X ∼ FisherZ ⁡ ( n , m ) {\displaystyle X\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)} 則 e 2 X ∼ F ⁡ ( n , m ) {\displaystyle e^{2X}\sim \operatorname {F} (n,m)} （F分布）。
  • 若 X ∼ F ⁡ ( n , m ) {\displaystyle X\sim \operatorname {F} (n,m)} 則 log ⁡ X 2 ∼ FisherZ ⁡ ( n , m ) {\displaystyle {\tfrac {\log X}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)} 。



參考資料

  1. ^ Fisher, R. A. On a Distribution Yielding the Error Functions of Several Well Known Statistics (PDF). Proceedings of the International Congress of Mathematics, Toronto. 1924, 2: 805–813. （原始内容 (PDF)存档于April 12, 2011）. 
  2. ^ 2.0 2.1 Leo A. Aroian. A study of R. A. Fisher's z distribution and the related F distribution. The Annals of Mathematical Statistics. December 1941, 12 (4): 429–448. JSTOR 2235955. doi:10.1214/aoms/1177731681 可免费查阅. 
  3. ^ Charles Ernest Weatherburn. A first course in mathematical statistics. 1961. 

外部連結

  • 查
  • 论
  • 编
概率分布（列表（英语：List of probability distributions））
離散單變量
有限支集
無限支集
  • beta negative binomial（英语：beta negative binomial distribution）
  • Borel（英语：Borel distribution）
  • Conway–Maxwell–Poisson（英语：Conway–Maxwell–Poisson distribution）
  • discrete phase-type（英语：Discrete phase-type distribution）
  • Delaporte（英语：Delaporte distribution）
  • extended negative binomial（英语：extended negative binomial distribution）
  • Flory–Schulz（英语：Flory–Schulz distribution）
  • Gauss–Kuzmin（英语：Gauss–Kuzmin distribution）
  • 幾何分佈
  • 对数分布
  • mixed Poisson（英语：mixed Poisson distribution）
  • 负二项分布
  • Panjer（英语：(a,b,0) class of distributions）
  • parabolic fractal（英语：parabolic fractal distribution）
  • 卜瓦松分布
  • Skellam（英语：Skellam distribution）
  • Yule–Simon（英语：Yule–Simon distribution）
  • zeta（英语：zeta distribution）
連續單變量
紧支集
  • arcsine（英语：Arcsine distribution）
  • ARGUS（英语：ARGUS distribution）
  • Balding–Nichols（英语：Balding–Nichols model）
  • Bates（英语：Bates distribution）
  • Β分布
  • beta rectangular（英语：Beta rectangular distribution）
  • continuous Bernoulli（英语：Continuous Bernoulli distribution）
  • 歐文–賀爾分佈
  • Kumaraswamy（英语：Kumaraswamy distribution）
  • logit-normal（英语：Logit-normal distribution）
  • noncentral beta（英语：Noncentral beta distribution）
  • PERT（英语：PERT distribution）
  • raised cosine（英语：Raised cosine distribution）
  • reciprocal（英语：Reciprocal distribution）
  • 三角形分布
  • U-quadratic（英语：U-quadratic distribution）
  • 連續型均勻分布
  • 維格納半圓分布
半無限區間支集
  • Benini（英语：Benini distribution）
  • Benktander 1st kind（英语：Benktander type I distribution）
  • Benktander 2nd kind（英语：Benktander type II distribution）
  • beta prime（英语：Beta prime distribution）
  • Burr（英语：Burr distribution）
  • chi（英语：chi distribution）
  • 卡方分佈
    • noncentral（英语：Noncentral chi-squared distribution）
    • inverse（英语：Inverse-chi-squared distribution）
      • scaled（英语：Scaled inverse chi-squared distribution）
  • Dagum（英语：Dagum distribution）
  • Davis（英语：Davis distribution）
  • 爱尔朗分布
    • hyper（英语：Hyper-Erlang distribution）
  • 指数分布
    • 亚指数分布
    • logarithmic（英语：Exponential-logarithmic distribution）
  • F-分布
    • noncentral（英语：Noncentral F-distribution）
  • folded normal（英语：folded normal distribution）
  • Fréchet（英语：Fréchet distribution）
  • 伽玛分布
    • generalized（英语：Generalized gamma distribution）
    • inverse（英语：Inverse-gamma distribution）
  • gamma/Gompertz（英语：Gamma/Gompertz distribution）
  • Gompertz（英语：Gompertz distribution）
    • shifted（英语：shifted Gompertz distribution）
  • half-logistic（英语：Half-logistic distribution）
  • half-normal（英语：half-normal distribution）
  • Hotelling's T-squared（英语：Hotelling's T-squared distribution）
  • 逆高斯分布
  • 柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验
  • Lévy（英语：Lévy distribution）
  • log-Cauchy（英语：log-Cauchy distribution）
  • log-Laplace（英语：log-Laplace distribution）
  • log-logistic（英语：log-logistic distribution）
  • 对数正态分布
  • log-t（英语：log-t distribution）
  • Lomax（英语：Lomax distribution）
  • matrix-exponential（英语：matrix-exponential distribution）
  • 麦克斯韦-玻尔兹曼分布
  • Maxwell–Jüttner（英语：Maxwell–Jüttner distribution）
  • Mittag-Leffler（英语：Mittag-Leffler distribution）
  • Nakagami（英语：Nakagami distribution）
  • 帕累托分布
  • phase-type（英语：Phase-type distribution）
  • Poly-Weibull（英语：Poly-Weibull distribution）
  • 瑞利分布
  • relativistic Breit–Wigner（英语：Relativistic Breit–Wigner distribution）
  • 莱斯分布
  • truncated normal（英语：truncated normal distribution）
  • type-2 Gumbel（英语：type-2 Gumbel distribution）
  • 韦伯分布
    • discrete（英语：discrete Weibull distribution）
  • Wilks's lambda（英语：Wilks's lambda distribution）
无限区间支集
  • 柯西分布
  • exponential power（英语：Generalized normal distribution）
  • 費雪z分佈
  • Kaniadakis κ-Gaussian（英语：Kaniadakis Gaussian distribution）
  • Gaussian q（英语：Gaussian q-distribution）
  • generalized normal（英语：Generalized normal distribution）
  • generalized hyperbolic（英语：Generalised hyperbolic distribution）
  • geometric stable（英语：geometric stable distribution）
  • 耿贝尔分布
  • Holtsmark（英语：Holtsmark distribution）
  • hyperbolic secant（英语：hyperbolic secant distribution）
  • Johnson's SU（英语：Johnson's SU-distribution）
  • 朗道分布
  • 拉普拉斯分布
    • asymmetric（英语：Asymmetric Laplace distribution）
  • logistic（英语：logistic distribution）
  • noncentral t（英语：Noncentral t-distribution）
  • 正态分布
  • normal-inverse Gaussian（英语：normal-inverse Gaussian distribution）
  • skew normal（英语：Skew normal distribution）
  • slash（英语：Slash distribution）
  • 稳定分布
  • 司徒頓t分布
  • Tracy–Widom（英语：Tracy–Widom distribution）
  • variance-gamma（英语：Variance-gamma distribution）
  • 福格特函数
可变类型支集
  • generalized chi-squared（英语：Generalized chi-squared distribution）
  • generalized extreme value（英语：generalized extreme value distribution）
  • generalized Pareto（英语：Generalized Pareto distribution）
  • Marchenko–Pastur（英语：Marchenko–Pastur distribution）
  • Kaniadakis κ-exponential（英语：Kaniadakis Exponential distribution）
  • Kaniadakis κ-Gamma（英语：Kaniadakis Gamma distribution）
  • Kaniadakis κ-Weibull（英语：Kaniadakis Weibull distribution）
  • Kaniadakis κ-Logistic（英语：Kaniadakis Logistic distribution）
  • Kaniadakis κ-Erlangl（英语：Kaniadakis Erlang distribution）
  • q-exponential（英语：q-exponential distribution）
  • q-Gaussian（英语：q-Gaussian distribution）
  • q-Weibull（英语：q-Weibull distribution）
  • shifted log-logistic（英语：Shifted log-logistic distribution）
  • Tukey lambda（英语：Tukey lambda distribution）
混合單變量
連續離散
  • 修正高斯分佈（英语：Rectified Gaussian distribution）
联合分布
  • Discrete:
  • Ewens（英语：Ewens's sampling formula）
  • multinomial（英语：multinomial distribution）
    • Dirichlet（英语：Dirichlet-multinomial distribution）
    • negative（英语：negative multinomial distribution）
  • Continuous:
  • 狄利克雷分布
    • generalized（英语：Generalized Dirichlet distribution）
  • multivariate Laplace（英语：Multivariate Laplace distribution）
  • 多元正态分布
  • multivariate stable（英语：Multivariate stable distribution）
  • multivariate t（英语：Multivariate t-distribution）
  • normal-gamma（英语：normal-gamma distribution）
    • inverse（英语：Normal-inverse-gamma distribution）
  • 随机矩阵
  • LKJ（英语：Lewandowski-Kurowicka-Joe distribution）
  • 矩阵正态分布
  • matrix t（英语：matrix t-distribution）
  • matrix gamma（英语：matrix gamma distribution）
    • inverse matrix gamma（英语：inverse matrix gamma distribution）
  • 威沙特分佈
    • normal（英语：normal-Wishart distribution）
    • 逆威沙特分佈
    • normal-inverse（英语：normal-inverse-Wishart distribution）
定向統計（英语：Directional statistics）
循環單變量定向統計（英语：Directional statistics）
圆均匀分布
univariate von Mises（英语：von Mises distribution）
wrapped normal（英语：Wrapped normal distribution）
wrapped Cauchy（英语：Wrapped Cauchy distribution）
wrapped exponential（英语：Wrapped exponential distribution）
wrapped asymmetric Laplace（英语：Wrapped asymmetric Laplace distribution）
wrapped Lévy（英语：Wrapped Lévy distribution）
球形雙變量
Kent（英语：Kent distribution）
環形雙變量
bivariate von Mises（英语：bivariate von Mises distribution）
多變量
von Mises–Fisher（英语：Von Mises–Fisher distribution）
Bingham（英语：Bingham distribution）
退化分布和奇異分佈（英语：Singular distribution）
其它
  • Circular（英语：Circular distribution）
  • 复合泊松分布
  • elliptical（英语：Elliptical distribution）
  • exponential（英语：Exponential family）
  • natural exponential（英语：Natural exponential family）
  • location–scale（英语：location–scale family）
  • Maximum entropy（英语：Maximum entropy probability distribution）
  • Mixture（英语：Mixture distribution）
  • Pearson（英语：Pearson distribution）
  • Tweedie（英语：Tweedie distribution）
  • Wrapped（英语：Wrapped distribution）
  • 分类 分类
  • 共享资源页面 维基共享