Distribució de Rademacher

Rademacher

Tipus	distribució univariant, distribució de probabilitat simètrica i distribució de probabilitat discreta
Epònim	Hans Rademacher
Suport	${\displaystyle k\in \{-1,1\}\,}$
FD	${\displaystyle F(k)={\begin{cases}0,&k<-1\\1/2,&-1\leq k<1\\1,&k\geq 1\end{cases}}}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle 0\,}$
Mediana	${\displaystyle 0\,}$
Moda	N/A
Variància	${\displaystyle 1\,}$
Coeficient de simetria	${\displaystyle 0\,}$
Curtosi	${\displaystyle -2\,}$
Entropia	${\displaystyle \ln(2)\,}$
FC	${\displaystyle \cos(t)\,}$

En teoria de la probabilitat i estadística, la distribució de Rademacher (que rep el nom de Hans Rademacher) és una distribució de probabilitat discreta en què la variable aleatòria X té un 50% de probabilitats de ser +1 i un 50% de probabilitats de ser -1.^[1]

Una sèrie de variables distribuïdes segons Rademacher com un camí aleatori simple i simètric en què la mida de la passa és 1-

Formulació matemàtica

La funció de massa de probabilitat d'aquesta distribució és:

${\displaystyle f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{if }}k=-1,\\1/2&{\mbox{if }}k=+1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{matrix}}\right.}$

En termes de la funció delta de Dirac, es pot expressar com:

${\displaystyle f(k)={\frac {1}{2}}\left(\delta \left(k-1\right)+\delta \left(k+1\right)\right).}$

Fita de Van Zuijlen's

Van Zuijlen va demostrar el següent resultat.^[2]

Sigui X_i un conjunt de variables aleatòries independents distribuïdes segons Rademacher, llavors:

${\displaystyle \Pr \left(\left|{\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{\sqrt {n}}}\right|\leq 1\right)\geq 0.5.}$

La fita és més forta i millor que la que es pot derivar de la distribució normal (aproximadament Pr > 0.31).

Fites en les sumes

Sigui {x_i} un conjunt de variables aleatòries distribuïdes segons Rademacher i {a_i} una seqüència de nombres reals. Llavors:

${\displaystyle \Pr \left(\sum _{i}x_{i}a_{i}>t||a||_{2}\right)\leq e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}$

on ||a||₂ és la norma euclidiana de la seqüència {a_i}, t > 0 és un nombre real i Pr(Z) és la probabilitat de l'esdeveniment Z.^[3]

Sigui Y = Σ x_ia_i i Y una sèrie gairebé segurament convergent a l'espai de Banach. Llavors, per t > 0 i s ≥ 1 es té:^[4]

${\displaystyle \Pr \left(||Y||>st\right)\leq \left[{\frac {1}{c}}\Pr(||Y||>t)\right]^{cs^{2}}}$

per una certa constant c.

Sigui p un nombre real positiu. Llavors, segons la desigualtat de Khintchine:^[5]

${\displaystyle c_{1}\left[\sum {\left|a_{i}\right|^{2}}\right]^{\frac {1}{2}}\leq \left(E\left[\left|\sum {a_{i}x_{i}}\right|^{p}\right]\right)^{\frac {1}{p}}\leq c_{2}\left[\sum {\left|a_{i}\right|^{2}}\right]^{\frac {1}{2}}}$

on c₁ i c₂ són constants que només depenen de p.

Per p ≥ 1,

${\displaystyle c_{2}\leq c_{1}{\sqrt {p}}.}$

Aplicacions

La distribució de Rademacher s'ha usat en bootstrapping i per demostrar que distribuït de manera normal i incorrelat no implica independent.

Vectors aleatoris amv components mostrejats independentment de la distribució de Rademacher són útils en diverses en aproximacions estocàstiques, per exemple:

• L'estimador de rastre de Hutchinson,^[6] que es pot usar eficientment per aproximar la traça d'una matriu els elements dels quals no són accessible de forma directa, sinó que estan definits de forma implícita a través de productes de matrius amb vectors.

• Aproximació estocàstica de perturbació simultània, una aproximació estocàstica de gradient, de baix cost computacional i sense derivades útil en l'optimització matemàtica.

Distribucions relacionades

• Distribució de Bernoulli: Si X segueix una distribució de Rademacher, llavors ${\displaystyle {\frac {X+1}{2}}}$ té una distribució de Bernoulli(1/2).
• Distribució de Laplace: Si X segueix una distribució de Rademacher i Y ~ Exp(λ), llavors XY ~ Laplace(0, 1/λ).

Referències