Inom matematiken är Gegenbauerpolynomen eller ultrasfäriska polynomen C(α)n(x) en serie ortogonala polynom. De generaliserar Legendrepolynomen och Tjebysjovpolynomen, och är specialfall av Jacobipolynomen. De är uppkallade efter Leopold Gegenbauer.
Karakteriseringar
Det finns ett flertal karakteriseringar av Gegenbauerpolynomen.
- De kan definieras med hjälp av deras genererande funktion som
![{\displaystyle {\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368c44d90ca9bbde62ccf1dede979ea1fe798d6d)
- Gegenbauerpolynomen satisfierar differensekvationen
![{\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{\alpha }(x)&=1\\C_{1}^{\alpha }(x)&=2\alpha x\\C_{n}^{\alpha }(x)&={\frac {1}{n}}[2x(n+\alpha -1)C_{n-1}^{\alpha }(x)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{\alpha }(x)].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f7e040cb401c72d41eab0bda662f115229feed)
- Gegenbauerpolynomen är lösningar till Gegenbauers differentialekvation
![{\displaystyle (1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba13b834214bed4e4decb02760bf9f0045182af)
- Då α = 1/2 reducerar sig ekvationen till Legendres ekvation, och Gegenbauerpolynomen reducerar sig till Legendrepolynomen.
- Gegenbauerpolynomen är ett specialfall av hypergeometriska funktionen:
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f788a101571624544680ee2a8fe38a0240e9e1b5)
- Utskrivet lyder formeln
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd2a5e11a0d972d44b0047006cf0133e33259004)
- De är ett specialfall av Jacobipolynomen:
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aaa12d9c31017cfc4ef0f8b5b922cc16fec5561)
- där
är Pochhammersymbolen. - Av det följer Rodrigues formel:
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07eff10ed90eb66bf06c2b329b1d266114dff433)
Egenskaper
Askey–Gaspers olikhet för Gegenbauerpolynomen är
![{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{\alpha }(x)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0\qquad (x\geq -1,\,\alpha \geq 1/4).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ef252b5ff2471341f1537f48a56f01a1dfdeaa)
Källor
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Gegenbauer polynomials, 8 december 2013.
- Bayin, S.S. (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley , Chapter 5
- Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), ”Orthogonal Polynomials”, i Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. m.fl., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, MR 2723248, ISBN 978-0521192255
- Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9
- Suetin, P.K. (2001), ”Ultraspherical polynomials”, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
Externa länkar
Wikimedia Commons har media som rör Gegenbauerpolynom.Bilder & media
Speciella funktioner |
---|
| Gamma- och relaterade funktioner | Gammafunktionen · Betafunktionen · Digammafunktionen · Trigammafunktionen · Polygammafunktionen · Ofullständiga gammafunktionen · Barnes G-funktion | | Zeta- och L-funktioner | | | Besselfunktioner och relaterade funktioner | | | Elliptiska funktioner och thetafunktioner | | | Hypergeometriska funktioner | | | Ortogonala polynom | | | Andra funktioner | |
|