Ramanujans thetafunktion är en generalisering av Jacobis thetafunktion. Funktionen är uppkallad efter Srinivasa Ramanujan.
Definition
Ramanujans thetafunktion definieras som
![{\displaystyle f(a,b)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n(n+1)/2}\;b^{n(n-1)/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57073342c61331c142b75043d978c1866379122)
då |ab| < 1. Jacobis trippelprodukt tar då formen
![{\displaystyle f(a,b)=f(b,a)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0aa1a6da3a4315f6066c8bc4b314027dbd75eed)
där
är q-Pochhammersymbolen. Tre viktiga specialfall av Ramanujans thetafunktion är
![{\displaystyle f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}={(-q;q^{2})_{\infty }^{2}(q^{2};q^{2})_{\infty }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50c93d5bf028f4f5bf601d8c562cda1158b5a2e)
och
![{\displaystyle f(q,q^{3})=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)/2}={(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(-q;q)_{\infty }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f62bbac3dd212d72376b819a1576810e4d76f29a)
och
![{\displaystyle f(-q):=f(-q,-q^{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}=(q;q)_{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464e898f41b8bf2f88814e903b3a0071a8027bbd)
Speciella värden
![{\displaystyle \varphi \left(e^{-\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fe9ada64c9690314e9f709e5f8b5005824a8b90)
![{\displaystyle \varphi \left(e^{-2\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{6\pi +4{\sqrt {2}}\pi }}{2\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e386e5d82e663d5cd67806a082bce188d747c8)
![{\displaystyle \varphi \left(e^{-3\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{27\pi +18{\sqrt {3}}\pi }}{3\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3ba8bb29f02c3e46c859e4e0ccf10e1e35e688)
![{\displaystyle \varphi \left(e^{-4\pi }\right)={\frac {{\sqrt[{4}]{8\pi }}+2{\sqrt[{4}]{\pi }}}{4\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99dc9be809c76d1491b7b2d61c3f3e17d558652)
![{\displaystyle \varphi \left(e^{-5\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{225\pi +100{\sqrt {5}}\pi }}{5\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f9b03659f7a692a99a38394f114da38df3d4a0)
![{\displaystyle \varphi \left(e^{-6\pi }\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}}+2{\sqrt {3}}-{\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\sqrt[{8}]{243{\pi }^{2}}}}{6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}{\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe75042d22ec00bb32b3e38a5d706ff7050b136)
Källor
- W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
- George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
- Hazewinkel, Michiel, red. (2001), ”Ramanujan function”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
- Weisstein, Eric W., "Ramanujan Theta Functions", MathWorld. (engelska)
Speciella funktioner |
---|
| Gamma- och relaterade funktioner | Gammafunktionen · Betafunktionen · Digammafunktionen · Trigammafunktionen · Polygammafunktionen · Ofullständiga gammafunktionen · Barnes G-funktion | | Zeta- och L-funktioner | Riemanns zetafunktion · Dirichlets L-funktion · Dedekinds zetafunktion · Artins L-funktion · Hasse–Weils L-funktion · Motiviska L-funktionen | | Besselfunktioner och relaterade funktioner | | | Elliptiska funktioner och thetafunktioner | | | Hypergeometriska funktioner | | | Ortogonala polynom | | | Andra funktioner | |
|